Thomas Colignatus
PM. Voor de periode 2017+ wil ik vooral gebruik maken van dit weblog.
De WiskundE-brief heeft deze doelstelling:
"De WiskundEbrief is een digitale nieuwsbrief, gericht op wiskundedocenten in het voortgezet onderwijs, met als doel om een snelle onderlinge uitwisseling van informatie en meningen mogelijk te maken. De brief verschijnt buiten de schoolvakanties ongeveer één keer per week. Het abonnement is gratis."
In de periode 2008-2016+ heb ik mogelijke bedragen aan de WiskundE-brief ingezonden. Sommige werden geplaatst (zie hier), andere werden afgewezen (zie onder). Soms was er een redactioneel proces, waarbij soms uiteindelijk werd geplaatst maar soms toch ook weer niet. Ik heb al eerder waardering maar ook kritiek voor dit redactioneel proces uitgesproken: hier pagina 6 of hier pagina 5. Waar ik eerder een lijstje maakte van wat wel geplaatst werd, is het nuttig nu ook een lijstje te maken van wat niet werd geplaatst.
Conclusies zijn:
Laat ik herhalen wat ik in Maart 2016 op die pagina 5 schreef:
"In sommige gevallen was er flinke redactionele inzet, en
wat mij betreft heeft de redactie veel meer gedaan dan nodig, maar de redactie
stond erop alleen berichten door te geven die men zelf 100% kon begrijpen. Dit
klinkt nobel, maar is kortzichtig. Van 100% kan menigeen 99% begrijpen, maar
juist die 1% niet, waardoor volledig begrip kan wegvallen: en voor ieder is het
weer een andere 1%. Dit is continue en niet diskreet verdeeld. Een auteur kan
niet voor iedereen aangeven waar men zijn onbegrip of deficientie moet
wegwerken. Hiervoor is ook tijd en maatschappelijke discussie nodig. Wellicht
slaagt een redactie erin om via intensief dialoog met de auteur het eigen 1% weg
te werken, maar dat zegt weinig over de lezers, ook al claimt de redactie de
lezers beter te kennen dan de auteur. Het feit dat de auteur met iets nieuws
komt lijkt door de redactie te worden misbegrepen alsof hij de lezers niet zou
kennen (want hij schrijft niet wat men wil horen). Nogmaals, de bereidheid en
inzet van de redactie is te waarderen. Beter is het om te accepteren dat de
auteur een econometrist en leraar wiskunde is, zodat de tijd en de discussie hun
werk kunnen doen."
"In de periode 2013-2015 heb ik lange tijd niets
aangeboden omdat de redactie van de WiskundE-brief in 2012 geen bericht over het
verschijnen van de boeken "Een
kind wil aardige en geen gemene getallen" en "De
eenvoudige wiskunde van Jezus" plaatste. Ik vreesde dat de redactie van
de WiskundE-brief een blokkade had zoals de redactie van Euclides. In 2015 legde
ik contact t.a.v. vier nieuwe boeken (zoals ik ook Swier Garst aansprak). Er is
een achterstand weg te werken van zes boeken. De redactie meent nu dat niet de
indruk moet ontstaan alsof de WiskundE-brief een Colignatus-brief is. Dit
plaatst mij in de wonderlijke positie waarin ik zou moeten kiezen tussen ofwel
een bericht indienen over een nieuw artikel ofwel wachten totdat een boek
genoemd wordt in de rubriek "verschenen". Ik heb de voorkeur gegeven aan de
berichten die in 2015 zijn geplaatst."
2008-05-31 (1): Een Cool-e Blik op Waarheid
2008-05-31 (2): De wenselijkheid van een parlementair onderzoek naar het onderwijs in "wiskunde" en naar wat "wiskunde" heet te zijn
2009-05-14: Elegance with substance
2010-02-16: Paradox van Russell en Logicomix
2011-06-18: N.a.v. de CPB-studie "Nederlandse onderwijsprestaties in perspectief"
2012-01-19: Twee gunstige recensies van "Conquest of the Plane" en de gevolgen daarvan
2012-02-10: De "bespreking" van "Conquest of the Plane" (2011) in Euclides, februari 2012
2012-05-08: Verschenen: "Een kind wil aardige en geen gemene getallen"
2012-06-07: N.a.v. wisD dag en Elwier
2012-10-15: Co-auteur(s) gezocht voor "De eenvoudige wiskunde van Jezus"
2012-12-08: Verschenen boek "De eenvoudige wiskunde van Jezus"
2013-02-06: Mijn brief aan regering en parlement t.a.v. Eindrapport cTWO
2013-04-03: A comedy of errors (rectificatie van de rectificatie)
2014-06-03: Vraag aan de redactie
2014-08-16: Wanneer de scholen aanstonds weer beginnen
2015-10-19: Kunnen jullie die recensie van Limpens herlezen ?
2015-10-23: Verschenen: vijf boeken
2015-10-24: Persbericht voor de WiskundE-brief
2016-01-11: De Onderwijsinspectie sluit de ogen bij het rekenexperiment op kinderen
2016-02-09: Deltaplan Wiskunde
2016-03-18: De NVvW is een ernstig zieke vereniging
2016-03-24: Het NVvW-bestuur desinformeert het parlement over het onderwijs in rekenen en de rekentoets
2016-04-16: Brief aan NRO
2016-05-19 (1): Brief aan KNAW en CPB
2016-05-19 (2): Traditionele, realistische, of (neo-)klassieke didactiek (6e versie)
2016-09-10: Draaicirkel en draaischijf met maat 1 voor goniometrie (tweede versie)
2016-10-08: Onderzoek over rekenonderwijs voorgelegd aan Commissie Wetenschappelijke Integriteit Leiden
2016-10-14: Wiskundig inzicht over Kinderklaas en Narren-Piet
2016-10-25: Een vraag voor de rondvraag bij de NVvW Jaarvergadering op 5 november 2016
2016-11-22: Strategisch denken in het leerproces: Complimenten, met suggestie tot verbetering
2016-12-01: Majeure stap t.a.v. didactiek van continuiteit
2016-12-10 (1): Eindelijk een degelijke verklaring voor differentialen
2016-12-10 (2): Bestuur NVvW verzint een "afspraak" met de staatssecretaris
2017-03-03: Verhoudingsgetallen, statistiek en Simpson's Paradox
2017-03-08: Bestuur NVvW accepteert een rekentoets bij het eindexamen
In Euclides van deze week (jaargang 83 nr 7) wordt het Zebra
boekje "Een koele blik op waarheid" van [Ferdinand] Verhulst gerecenseerd door
Chris van der Heijden. Ik heb overwogen beiden te schrijven maar een tekst voor
de E-brief dekt een grotere gemeente. Ten eerste veel lof voor wie logica en
redeneerkunst voor het voortgezet onderwijs aan de orde stelt. Ten tweede moet
ik voor goede logica en redeneerkunst verwijzen naar mijn "A logic of
exceptions", (ALOE) [
http://thomascool.eu/Papers/ALOE/Index.html ], overigens geschreven onder de
naam Colignatus zodat het bovenstaande maar een klein woordgrapje is. In
ALOE wordt na 2300 jaar de leugenaarsparadox opgelost, en in het verlengde
daarvan die van Russell en het vraagstuk van de verzameling van alle
verzamelingen, het delen door nul bij differentialen en de misvatting van
Goedel. ALOE is geprogrammeerd in Mathematica en men kan daar aardige dingen mee
doen. Richard Gill (Leiden) heeft een link op zijn website gezet met een
aanbeveling tot lezen, hopelijk hebben anderen daar oren naar. [Zie
inmiddels
Nieuw Archief voor Wiskunde 2008.] Ten derde heb ik ALOE geschreven voor eerstejaars
aan een universiteit, alle opleidingen, om mij niet in bochten te hoeven wringen
over taalgebruik en dergelijke. Voor het voortgezet onderwijs zal naast de
doordachte didactische opbouw in ALOE ook gelet moeten worden op taalgebruik en
inbedding in het gangbare onderwijs in wiskunde. Het is eigenlijk onjuist dat
logica en verzamenlingenleer verbannen zijn naar een uithoek, cq. niet meer
voorkomen, en ze zouden eigenlijk integraal moeten worden opgenomen. Wellicht
hebben de leugenaarsparadox en grondslagencrisis door de paradox van Russell
ertoe bijgedragen dat men zich niet zo zeker van zijn zaak voelde ? Een deel van
de verklaring zit natuurlijk ook in de knullige aanpak in het verleden, want
zelfs met leugenaarsparadox en grondslagencrisis kan men nog een toegankelijk
betoog opzetten, zoals Verhulst gezien deze recensie laat zien. In ieder geval
adviseer ik de lezers van de E-brief bij het eventuele lezen van ALOE ook scherp
de vraag in het achterhoofd te houden waarom het inzicht in denken en redeneren
aan VO-leerlingen zou moeten worden onthouden.
Thomas Cool / Thomas
Colignatus (cool [at] dataweb.nl)
Geen commentaar ontvangen. Het is niet gepubliceerd.
PM. Zie hier hoe ook de redactie van Euclides in 2007 aandacht voor ALOE afwijst.
Het afgelopen jaar ben ik, door onderwijs te geven in het voortgezet
onderwijs, in de positie geplaatst te moeten bestuderen wat de leerboeken aan
"wiskunde" presenteren, en dit op een basaler niveau dan mijn eerdere ervaring
van vier jaar aan het HBO. Mijn conclusie is dat een parlementair onderzoek
wenselijk is naar het onderwijs in "wiskunde" en naar wat "wiskunde" heet te
zijn. De evaluatie staat hier:
[http://thomascool.eu/Thomas/Nederlands/Wetenschap/Artikelen/2008-04-17-WiskundeOnderwijs.pdf]
Degene die interesse voor deze evaluatie opvat en aan het lezen gaat, moet ik
waarschuwen voor een mogelijke misvatting die een eerdere lezer mij bekende.
Deze lezer stoorde zich aan de gedachte dat het parlement wordt ingeschakeld en
wordt gevraagd in te grijpen terwijl het, in de ogen van deze lezer, toch kon
volstaan om de wiskundige overwegingen inhoudelijk naar voren te brengen. Deze
lezer zei zich aldus aan de "toon" te storen, waardoor de evaluatie aan
effectiviteit zou verliezen. Wie de evaluatie gaat lezen zij aldus gewaarschuwd
dat zo'n benadering een misvatting is. De toon van de evaluatie is nuchter, de
conclusie een zakelijke. Het advies dat het parlement ingrijpt wordt op grond
van argumenten en met logica bereikt. Mijn suggestie is dat (hoog-) leraren deze
conclusie overnemen, niet alleen de leraren in het vak "wiskunde" maar ook in de
andere vakken, die zich immers tot wiskunde verhouden.
Thomas Cool /
Thomas Colignatus (cool [at] dataweb.nl)
Geen commentaar ontvangen. Het is niet gepubliceerd.
PM. Bovenstaand opstel werkte ik in het Engels uit tot "Elegance with Substance" (2009, 2015)
Book by Thomas Colignatus, draft May 2009, http://mpra.ub.uni-muenchen.de/15173/ : "Method: We do not require statistics to show that mathematics education fails but can look at the math itself. Criticism on mathematics itself can only succeed if it results into better mathematics. Similarly for the didactics of mathematics. Proof is provided that the mathematics that is taught often is cumbersome and illogical. It is rather impossible to provide good didactics on what is inherently illogical. (...) Advice: The economic consequences are huge. National parliaments are advised to do something about this, starting with an enquiry. Parents are advised to write their representative. The professional associations of mathematics and economics are advised to write their parliament in support of that enquiry."
2009-06-10
Beste [redactie],
Ik zit nu de
website van minister Plasterk te bekijken, met het nieuwe programma met 20
miljoen voor innovatie en ook de wiki-schoolboeken (zie eventueel
http://www.minocw.nl/ministerplasterk/nieuws/35864/20miljoenvoorinnovatieveoplossingenlerarentekort.html)
Ik heb de minister zojuist ingelicht dat mijn boek "Elegance with Substance"
nu beschikbaar is, met ISBN en al, zie eventueel
[http://thomascool.eu/Papers/Math/Index.html] voor flaptekst en PDF.
Jullie hebben al aangegeven nu geen aandacht aan EwS te geven en te overwegen
dit het najaar te doen. Maar over die 20 miljoen lezende blijf ik hopen dat
jullie akkoord gaan dat leraren juist de vakantietijd kunnen gebruiken om rustig
te lezen en te overdenken, en dat ik niet een grote commerciele uitgever ben
maar gewoon een leraar wiskunde die idee-en heeft ontwikkeld over didactiek en
de situatie in het onderwijs. Dus nogmaals, probeer de category mistake te
vermijden.
Met beste groet,
Thomas
PM 1. Reactie van minister Plasterk.
PM 2. WiskundE-brief publiceerde in
september 2009
Hier staat mijn oplossing voor de paradox van Russell die geen gebruik maakt van de "theory of types" en die het mogelijk maakt om te spreken over de verzameling van alle verzamelingen. Het is nuttig om als leraar deze oplossing te kennen omdat er nu het prachtige stripboek "Logicomix" (www.logicomix.com) bestaat dat deze oplossing helaas nog negeert. Logica en verzamelingenleer zouden goed in het middelbareschoolprogramma (of zelfs eerder ?) passen maar vroegere pogingen zijn helaas niet goed uitgevoerd. Ik denk niet dat leerlingen Logicomix lezen en met vragen bij de leraar komen maar leraren zouden ernaar kunnen kijken en nog eens kunnen nadenken over de voordelen van logica en verzamelingen, qua inhoud en voor didactiek. Waarom wel wiskunde C en niet A ? Ik heb de auteurs overigens geschreven en zij staan nu voor de vraag of zij corrigeren zoals destijds Frege corrigeerde toen Russell zijn paradox instuurde. [http://thomascool.eu/Papers/ALOE/2010-02-14-Russell-Logicomix.pdf] Het blijven wonderlijke tijden. Thomas Colignatus
Hoewel het onderwerp “logica/verzamelingenleer & schoolwiskunde” beslist relevant is voor de WiskundE-brief, en het boek Logicomix zeker interessant kan zijn voor veel wiskundeleraren, vrees ik dat onze lezers met onderstaande tekst van jouw hand ‘niet zoveel kunnen’. Misschien kun je kort iets concreets schrijven over de door jou geconstateerde of vermoede voor- en nadelen van evt. invoering van die onderwerpen in enkele van de nieuwe examenprogramma’s, zowel qua inhoud als qua didactiek?
Reactie: Je moet de inhoud van het bericht niet veranderen.
Thomas Colignatus
http://thomascool.eu
Het advies van het Centraal Planbureau (CPB) voor grotere kwaliteit van docenten, meer uren wiskunde, en betere controle op de uitvoering sluiten aan bij de gedachten binnen het Platform Wiskunde (PWN). Zoals het CPB zelf schrijft verschilt de diagnose niet van een eerdere studie van het CPB in 2007 (Bert Minne). Voor leerlingen kan het een verschil zijn tussen havo of vwo. Natuurlijk lijkt het beter om überhaupt de eisen te verhogen. Nieuw aan de studie van 2011 is dat gekwantificeerd wordt dat op de langere termijn de dreigende neergang wel "enkele procenten" van het nationaal inkomen oftewel 6-12 miljard per jaar kan kosten (Niels Vermeer). Dit verschilt wel van de eerdere aandacht voor voor- en vroegschools onderwijs uit het CPB-rapport "Kansrijk kennisbeleid" uit 2006 (Maarten Cornet) dat aansluit bij het onderzoek van Nobelprijswinnaar James Heckman (die Vermeer niet noemt). De Policy Brief adviseert "scherpe keuzes". Wanneer dat betekent dat we in plaats van de botte bijl nu een scherpe bijl moeten hanteren dan lijkt het verstandig nog eens te twijfelen. Het CPB maakt geen melding van mijn advies tot een parlementair onderzoek naar het onderwijs in wiskunde, in mijn boek "Elegance with Substance" uit 2009 in het economic paper archief http://mpra.ub.uni-muenchen.de/15676/. Als wiskundeleraar heb ik op mijn HBO-school en drie VO-scholen alleen maar prettige, bekwame en gemotiveerde wiskunde-collegae ontmoet maar er zijn fundamentele mankementen in de bedrijfstak waaronder de onderwezen "wiskunde" zelf. Het is belangrijk dat beleid gebruik maakt van kwantitatief onderzoek zoals het CPB aanlevert maar nog belangrijker is om een integrale visie te behouden. Het CPB in zijn huidige opzet heeft stelselmatig de neiging om tot oogkleppen te vervallen. Als econometrist en wetenschappelijk medewerker van het CPB in 1982-1991 ontwikkelde ik een analyse over de werkloosheid. Toendertijd was mijn raming dat een verbetering met minstens 15 miljard gulden per jaar mogelijk was - het zal nu wel 15 miljard euro zijn. Mijn analyse werd echter getroffen door censuur door de directie en ik werd met onwaarheden ontslagen. Ik adviseer zodoende al 20 jaar tot een parlementaire enquête naar de werkloosheid en de rol daarbij van de voorbereiding van het economisch beleid en in het bijzonder de rol van het CPB. Het zou mooi zijn wanneer de wiskundigen in Nederland eens naar mijn analyse op het terrein van logica en wiskunde keken zodat zij beter zicht krijgen op de kwaliteit die achter deze adviezen ligt (over kwaliteit gesproken, en economie is weer een ander vak). Wanneer ieder zich de normen van fatsoen voor de geest haalt en zich daarnaar probeert te gedragen dan zouden we eruit kunnen komen, met goede gevolgen voor onderwijs, werkloosheid, en in het verlengde daarvan de grote wereldproblemen (wanneer ieder land een Economisch Hof krijgt dat zich i.t.t. het CPB wel aan de normen van de wetenschap houdt).
Dank voor je inzending – maar in de aangeleverde vorm is die tot onze spijt helaas niet bruikbaar.
Het eerste gedeelte zou wellicht relevant kunnen zijn voor onze lezers, maar de tekst is nogal onduidelijk en niet goed te plaatsen / te begrijpen als je als lezer niet de juiste achtergrondkennis hebt. Een duidelijke strekking van wat er precies mis is, of duiding van wat er voor verbetering vatbaar en uitvoerbaar is, geef je vaag aan met: ‘… fundamentele mankementen in de bedrijfstak waaronder de onderwezen "wiskunde" zelf.’
Het andere
gedeelte draait vooral om je persoonlijke frustraties die, hoe begrijpelijk en
vervelend ook, voor onze lezers nu eenmaal niet relevant zijn.
Reactie: Dit is een wetenschappelijk verantwoord advies, en het is een misrepresentatie dit op te vatten als een persoonlijke frustratie. Wie denkt de redactie dat ik ben ? Iemand die zijn persoonlijke frustraties loopt te ventileren ?
Je stukje zou moeten gaan om de nieuws-/informatiewaarde voor wiskundeleraren. Misschien weet je je tekst om te zetten naar een kort(!) informatief stukje over/n.a.v. het CPB-rapport, waarin je je bezwaren concreet vermeldt, zonder je persoonlijke aversie erin te verweven?
Reactie: Dat heb ik hierboven al gedaan !
Ik snap dat je het niet leuk zult vinden dat ik wederom met een ‘vervelende boodschap’ reageer op een mogelijke bijdrage van jou, maar ik hoop werkelijk dat je dat niet ziet als een standaard-negatieve-reactie van ons als redactie op inzendingen van jouw kant – want dat is niet het geval. Het is niet zozeer de inhoud, maar met name de toon en de persoonlijke frustratie in je stukjes die lezers zou afschrikken, vrees ik, en die niet relevant zijn voor het aangesneden (vaak wel relevante) onderwerp. En dat valt m.i. vrij gemakkelijk te veranderen!
Reactie: Er is helemaal niets mis mee met de toon. Er is iets mis met het kunnen lezen door de redactie.
We horen graag weer van je.
Op verzoek van Nieuw Archief voor Wiskunde heeft Richard Gill (KNAW en Leiden) mijn boeken "Elegance with Substance" (2009) en "Conquest of the Plane" (2011) gerecenseerd. Zijn concept-tekst staat alvast hier: http://www.math.leidenuniv.nl/~gill/reviewCOTP.html. [Deze webtekst bevat nu een kleine verbetering van de gepubliceerde versie bij NAW.] Eerder was er al: http://www.euro-math-soc.eu/node/2081.
Richard kijkt vooral naar mijn nieuwe definitie voor de afgeleide. Het gaat ook daar om een fundamentele herziening, die ook elegant en consistent onderwijs mogelijk maakt, terwijl er aan de uitkomsten niet zoveel verandert. Bij Abs[x] in het punt 0 wordt de afgeleide nul in plaats van onbepaald, dat is niet zo dramatisch anders maar wel juist wanneer het niet om de helling van raaklijnen gaat maar om de verandering van oppervlakte. De Spaanse recensent bekent zich aanvankelijk ongemakkelijk te voelen met het "anders schrijven" van volkomen "bekende wiskunde" maar verklaart uiteindelijk: "enjoy". Met deze recensies is een klein stapje naar een bredere discussie gezet.
De recensies bespreken nog niet de vele andere bijdragen van EWS en COTP aan didactiek en onderwijs. Bijvoorbeeld de uitleg in COTP 15.2 over de verwarring van Freudenthal met zijn "realistische" wiskunde en het gelijk van Van Hiele met zijn niveau's. In deze Verovering van het Platte Vlak wordt het lege vlak eerst met materiaal bevolkt, maar dat materiaal blijft bestaan uit wiskundige concepten, in casu "benoemde lijnen", om de leerling ermee te laten werken en daardoor de kans te geven naar een hoger niveau van begrip te springen.
Van belang is vervolgens het veranderingsproces richting feitelijk onderwijs. Mijn advies is dat wiskundedocenten nu gaan lezen, en aan docenten van andere vakken, ouders en Tweede Kamer duidelijk maken dat het huidige onderwijs fundamentele gebreken vertoont door historisch gegroeide fouten, waardoor leerlingen ernstig te lijden hebben. De TK kan dan middelen vrijmaken voor empirische toetsing, ontwerp van het nieuwe programma, herscholing e.d.. Wanneer Nederland nu gaat lezen dan kan de TK na Pasen al met brieven overladen worden. Zo moeilijk is die wiskunde in EWS en COTP nu ook weer niet. Bovendien: "enjoy". Het gaat erom dat men leest met een open geest en dat men de bereidheid heeft te erkennen dat het fundamenteel verkeerd zit zodat alleen fundamentele herijking zin heeft. Ja, ook wat nu allemaal aan het rekenonderwijs gesleuteld wordt vertoont grote mankementen en het moet mogelijk zijn de vectoren al in de basisschool te behandelen.
Wie denkt dat er geen geld voor verandering beschikbaar is beseffe dat het in de wereld der economen nog fundamenteler mis zit, zodat er best gelden zijn vrij te maken, terwijl ook investeringen nodig zijn, zie eventueel http://www.dataweb.nl/~cool/Papers/Drgtpe/Crisis-2007plus/Index.html
Geen commentaar ontvangen. Het is niet gepubliceerd.
In Euclides, februari 2012, is een "bespreking" verschenen van mijn boek "Conquest of the Plane" (2011). Deze "bespreking" is geen echte bespreking maar een mislukte poging van een traditioneel denkende wiskundige. Het manifesteert onbegrip voor wat een betere aanpak van het onderwijs in wiskunde kan zijn. Gelukkig verschenen er eerder twee positieve recensies van anderen. De macht van het getal telt hier echter niet, alleen de vraag of het betere wiskunde en betere didactiek is. Mijn reactie staat nu op het Lezersforum van Euclides: http://www.nvvw.nl/page.php?id=8091&rid=8729&topicID=1854&view=list_posts
Thomas Cool / Thomas Colignatus,
[http://thomascool.eu/Papers/Math/Index.html]
Reactie 2012-02-10
Hartelijk dank voor uw terugmelding t.a.v. de
petitie.
T.a.v. de andere inzending t.a.v. het andere forum: Hieronder de
terugmelding van de redactie van Euclides dat van dat forum gebruik
*moet*
worden gemaakt voor reacties op artikelen in Euclides.
Weinig lezers van
Euclides weten echter van dat forum of kijken
daarnaar. Psychologisch lijkt
het proces mij als volgt te gaan
verlopen: (1) Lezers van Euclides zien dit
weekend die "bespreking"
van Spandaw waardoor men negatief gestemd raakt
t.a.v. mijn analyse,
(2) Vervolgens leest men de WiskundE-brief met mijn
petitie en haakt
dan af, (3) Wellicht volgende week zou u mijn inzending met
verwijzing naar het Lezersforum kunnen opnemen: maar dan heeft
menigeen zijn
mening al gevormd.
Voor de optimale orientatie zou het aldus mooi zijn
wanneer u bereid
zou zijn om ook komend weekend mijn inzending t.a.v. het
Lezersforum
op te nemen. Dan heeft de gebruiker alles bij elkaar. Ik houd de
vingers gekruist.
2012-02-11
We hebben gekozen voor het volgende:
Een kort stuk,
ondertekend door een redacteur , waarin op de de petitie wordt gewezen (met link
en het noemen van "Elegance with Substance" en "Conquest of the Plane") , de
bespreking in Euclides van laatstgenoemde boek (met link) , en uw (uitgebreide )
reactie daarop (met link).
We denken dat onze lezers met behulp van deze
bronnen zelf goed hun oordeel kunnen vormen
2012-02-18
Uw oplossing was een mooie, dank daarvoor.
2016
De melding door de redactie staat hier: http://www.wiskundebrief.nl/589.htm#6. Helaas verwijst men niet naar het forum op de NVvW site. Overigens is het protest daar verdwenen toen de NVvW de site vernieuwde en dit protest niet terugplaatste. De link naar dataweb.nl is inmiddels verplaatst naar thomascool.eu, zie hier.
Terugziende over het bovenstaande: Het is wel typisch dat bovenstaand bericht uit 2008 over het parlementair onderzoek niet geplaatst wordt, alsook niet de melding dat er twee gunstige besprekingen van EWS en COTP zijn, maar dat wel de internetpetitie vermeld wordt toevallig tegelijkertijd met het verschijnen van de lasterlijke en misrepresenterende "bespreking" door Spandaw, die wel vermeld wordt maar de twee andere besprekingen niet. De kaarten worden zo wel erg nadelig t.a.v. mijn analyse uitgedeeld. De redactie heeft haar tekst niet in concept aan me voorgelegd, en ik had dan denkelijk wel op die andere recensies gewezen. Maar per saldo blijf ik bij mijn dank uit 2012 voor een mooie aanpak bij een complexe materie. Wanneer wiskundeleraren inderdaad goed gaan lezen dan moeten zij eruit komen. Hopelijk is ook de redactie van de WiskundE-brief gaan lezen - maar de reacties in het hiernavolgende wijzen daar niet zo op.
Christiaan Boudri ging lezen en gelukkig publiceerde de redactie diens kritiek op Spandaw's "bespreking". Spandaw onthoudt zich blijkbaar van ingaan op de kritiek.
Ik heb een nieuw boek: "Een kind wil aardige en geen gemene getallen":
[http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/Index.html]
Mijn
vingers jeuken om een berichtje voor de Brief in te zenden, maar ik ben
doodsbang dat het wordt afgewezen als "commercieel" terwijl het mij toch
werkelijk gaat om de verbetering van de wiskunde.
Is het mogelijk om af
te stemmen dat zo'n berichtje mogelijk is, of wellicht dat u van uw kant een
berichtje maakt ?
Geen commentaar en geen vermelding in de rubriek "verschenen".
Geachte redactie,
Ik ga morgen naar de wisD dag en het symposium van
het Handboek Wiskundedidactiek:
http://www.fisme.science.uu.nl/fisme/nl/projecten/symposiumwiskundedidactiek/
Van belang is dat dit Handboek dus tot stand komt met voorbijgaan aan mijn
artikelen en boeken over didactiek van wiskunde sinds 2008, zoals Elegance with
Substance (2009). Wellicht is Conquest of the Plane (2011) te vers van de pers
maar ik heb enkele auteurs erop attent gemaakt, dus ze hadden e.e.a. kunnen
bekijken en dan besluiten dat het Handboek misschien een jaartje uitgesteld
moest worden. Je mag het nu ook beschouwen als een nul-meting van de huidige
stand van zaken van struisvogelpolitiek.
Grappig is dat in bovenstaande
link bij Van Dormolen een typefout staat: "Door de functie x -> 2x+3 wordt aan 2
het getal 9 toegevoegd."
Typisch is dat Van Streun een deel van mijn
analyse ziet: "Wiskundeleraren hebben wiskunde gestudeerd en beleven, als het
goed is, nog wekelijks veel voldoening aan het sleutelen aan wiskundige
vraagstellingen en aan het bestuderen van wiskundig getinte redeneringen van
anderen. Soms is het frustrerend als leerlingen daar het leuke niet van inzien.
Vaak is het raadselachtig dat leerlingen wiskunde niet lijken te begrijpen, niet
kunnen onthouden of kunnen toepassen. Voor die vragen biedt de wiskunde zelf
geen antwoorden."
Het punt is namelijk dat didactiek een empirische
kwestie is, en dat wiskundigen daar niet voor worden opgeleid. Je ziet dit ook
terug bij andere gevallen, wanneer wiskundigen bijvoorbeeld aan de slag gaan met
financiele producten of met verkiezingsprocedures. De theorie is voor hen
belangrijker dan de empirie. Van Streun zegt nu dat leerlingen de wiskunde niet
zien, maar de werkelijkheid is dat de wiskundigen de leerlingen niet zien. Wat
wiskundigen "wiskunde" noemen is in belangrijke mate kromme traditie.
Nu,
ter zake: Ik heb in een vorig email gewag gemaakt van het nieuwe boekje "Een
kind wil aardige en geen gemene getallen". Ik heb vandaag een exemplaar naar
Euclides gezonden voor een recensie. Het zou toch mooi zijn wanneer uw redactie
bereid zou zijn om er nu alvast melding van te maken, zodat collegae ernaar
zouden kunnen kijken in komende grote vakantie:
[ http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/Index.html ]
Het kan heel goed zijn dat ik nu iets te dicht zit op het boek zit om een
compacte tekst aan te leveren, maar bovenstaande link geeft ook het persbericht,
en wellicht kunt u daarvan gebruik maken.
Bijlage: Een tekst over de
wereldontdekking: de afgeleide is algebra. [Bijlage:
Een Wereldontdekking ]
Bijlage: Mijn brief aan het
bestuur van de Vereniging van Wetenschapsjournalisten in Nederland n.a.v. de
bijeenkomst "wetenschap ontmoet pers" afgelopen maandag:
[
http://www.thomascool.eu/Thomas/Nederlands/TPnCPB/Pers/2012-06-06-AanHetBestuurVWN.html
]
Met dank voor uw eerdere meldingen van mijn bijdragen,
en
vriendelijke groet,
Thomas Cool / Thomas Colignatus
De redactie heeft hier geen bericht over geplaatst.
2012-06-11
Geachte redactie,
Grappig is dat in bovenstaande link bij Van Dormolen een typefout staat: "Door de functie x -> 2x+3 wordt aan 2 het getal 9 toegevoegd."
Op de bijeenkomst van ELWIER heeft Van Dormolen
uitgelegd dat hij dit precies zo bedoelde. Het "toevoegen" heeft in
niet-wiskundige-omgevingen de betekenis van toe-voegen, zodat 7 aan 2 wordt
toegevoegd.
I stand corrected.
Maar als je dit niet weet blijft
het wel raar staan ....
Ik heb nu het boek "De eenvoudige wiskunde van Jezus", gepubliceerd op 14 oktober 2012. Oorspronkelijk had ik dit al gedacht voor gebruik in het onderwijs hier in Nederland, reden waarom ik het ook in het Nederlands heb geschreven, en ik dacht zelfs aan 12-jarigen. Maar gaanderweg bleek het te lastig het taalgebruik op dat niveau te houden, vooral waar wiskunde andermaal weer giskunde blijkt. De huidige versie van het boek zou denkelijk voor werkstukken in 5 en 6 VWO gebruikt kunnen worden, maar eigenlijk blijft de gedachte overeind dat het onderwerp ook voor 12-jarigen geschikt is, en aldus ook qua vorm te maken valt. Helaas zit ik nu zo diep in de huidige vorm dat het erg veel moeite zou gaan kosten om er weer op afstand naar te kijken. Derhalve vraag ik me af of er wellicht co-auteur(s) zouden zijn, die daar met een frisse blik naar willen kijken en dan meeschrijven. Gedacht zou kunnen worden aan een Zebra voor 12 jarigen en een Epsilon voor de bovenbouw, zulks natuurlijk voor te leggen aan de redacties aldaar. Wie belangstelling heeft: gelieve dan de huidige versie te bekijken en contact op te nemen op [cool at dataweb.nl]. Wellicht is commentaar al uit te wisselen en kunnen we ergens centraal vergaderen. Het boek staat hier: http://thomascool.eu/Papers/EWVJ/Index.html
Noch commentaar noch publicatie.
De eenvoudige wiskunde van Jezus
Auteur:
Uitgegeven door:
Prijs:
ISBN:
Weblink:
Wiskunde kunnen we toepassen op van alles, zoals ruimte, getallen, fysica,
biologie ... Dit boek past wiskunde toe op het verhaal van Jezus van Nazaret. De
eenvoudige wiskunde van Jezus betreft het ontstaan van de kalender op grond van
de hemelverschijnselen. Het is moeilijke wiskunde, of giskunde, wanneer we
willen ontrafelen hoe de Bijbel ontstond en wie Jezus was. Hier is geen
zekerheid maar de logica leidt tot enkele suggesties. Thomas Cool is
econometrist en leraar wiskunde. Hij schrijft zijn wetenschappelijk werk onder
de naam Colignatus. Vanaf klas vijf HAVO / VWO voor wiskunde in combinatie met
astronomie, geschiedenis en levensbeschouwing.
Noch commentaar noch publicatie.
Mijn brief t.a.v. het eindrapport cTWO staat hier:
http://www.thomascool.eu/Papers/Math/2013-02-06-Colignatus-nav-cTWO-Eindrapport.html
Noch commentaar noch publicatie.
Het zijn boeiende momenten wanneer het meisje verliefd is op Jan en een hekel heeft aan Piet, maar dan tot de ontdekking komt dat Piet eigenlijk diezelfde Jan is maar zonder brilletje en met met geverfd haar. Of zoals de prins neerziet op dienstmeiden zoals Assepoetster maar ondertussen op zoek is naar de jongedame die het muiltje moet passen. Op dezelfde wijze "corrigeert" de wiskundE-brief 630 dat Ger Limpens alleen "Elegance with Substance" (2009) heeft gerecenseerd maar niet 'Conquest of the Plane" (2011), maar is COTP een implementatie oftewel een 'proof of concept' van EWS, dus materieel is er een belangrijke overlap, zie ook de recensie door Richard Gill die dit benoemt. Het is bijv. ook opvallend dat niet alleen Spandaw maar ook Limpens de dynamische deling en de nieuwe algebraische aanpak van de afgeleide niet toelicht, die toch in EWS staan, en waar Christiaan Boudri het juist mogelijk acht dat zij waarde voor het onderwijs kunnen hebben. Sinds de ontdekking in 2007 en dus na zes jaar is de aanpak nog nimmer in de kolommen van Euclides toegelicht. In mijn bericht aan de redactie van de E-brief heb ik het onderscheid tussen Limpens & EWS en Spandaw & COTP aangegeven, en de redactie heeft zelfstandig het oorspronkelijk bericht geformuleerd met de oproep van Christiaan Boudri tot het lezen met een open geest, wiskundE-brief 629. Maar de "correctie" kan weer zijn nieuwe misverstanden wekken, namelijk dat Limpens wel met een open geest zou hebben gerecenseerd. Het lijkt me dus niet. Hij werpt de vragen op of de auteur een "zonderling" en een "Don Quichote" is, en zulke vragen opwerpen is desinformatief, tendentieus, onbehoorlijk, onder de gordel, kwalijk. Ja, als we daar nu eens zekerheid over kregen, dat de auteur een echte zonderling is ... Wat dan ? Dan kunnen de leraren wiskunde lekker doorgaan met het onnodig kwellen van weerloze leerlingen ? Het lijkt me niet. Lezen en studeren, met een open geest, dat is het enige antwoord wanneer men verkeerd blijkt te worden voorgelicht. Ondertussen heb ik nog niets gehoord van bestuur NVvW en redactie Euclides, die begrijpen blijkbaar het verschil tussen kritiek en laster nog niet. Zie eventueel nogmaals de tekst van Boudri: http://thomascool.eu/Papers/COTP/2013-03-15-Boudri-over-COTP.pdf
Noch commentaar noch publicatie.
Via een google op Mario Livio zag ik dat u ooit gerapporteerd heeft over
diens boek "Is God een wiskundige?"
http://www.wiskundebrief.nl/559.htm
Ook rapporteert u over de
werkgroep van Ab van der Roest:
http://wiskundebrief.nl/488.htm
Maar u heeft nog niet gerapporteerd
over het bestaan van mijn boek "De eenvoudige wiskunde van Jezus", zie onder.
[hierboven 2012-12-08]
Ik heb hier uitgelegd hoe het boek stuit op
allerlei wonderlijke barrieres:
http://thomascool.eu/Papers/EWVJ/2014-05-04-Agnosme-wiskunde-Jezus.html
Misschien wilt u overwegen aan de collegae door te geven dat het boek
bestaat, of melding maken van dat artikel "Agnosme, wiskunde en Jezus" ?
Noch commentaar noch publicatie.
Wanneer de scholen aanstonds weer beginnen, dan zal het
gesprek niet alleen gaan over de vakanties, maar denkelijk ook over de
wereldproblemen die aan de grenzen van de EU steeds groter worden: met name
Rusland-Ukraine, Syrie-Irak, Israel-Gaza.
Heb je als wiskundeleraar een
afzijdigheid die in het vak besloten ligt of zijn er juist sterkere argumenten
om juist wel te proberen een bijdrage aan die discussie te leveren ?
Bijvoorbeeld is er al een aanzet via een wereldboekenfonds, met de gedachte dat
mensen al geholpen zijn wanneer zij meer kans hebben om wiskunde te leren. Maar,
blijft het dan daarbij ?
Ik heb hier al, met vermoedelijk enig cynisme,
de opmerking gemaakt dat kinderen in oorlogsgebied moeilijker kunnen leren
tellen wanneer zij hun vingers missen:
http://boycottholland.wordpress.com/2014/08/01/is-zero-an-ordinal-or-cardinal-number-q
Ik wil echter verder gaan, en kom ook op die gedachte na het optreden
van kamerlid Pieter Omtzigt (CDA) in het programma van Knevel & Van den Brink,
met diens aandacht voor de genocide op de Yazidi's en diens algemene aandacht
voor vervolgde Christenen.
Mijn gedachte is daarbij dat het onjuist is de
problemen in het Midden Oosten te trekken in de sfeer van Islam, Christendom,
Jodendom, omdat je dan meegaat in het "frame" van geloofsfanaten. Het gaat niet
om het geloof, maar het gaat om geloofsvrijheid en om bescherming van
burgerrechten voor allen. Zoals ook recht op onderwijs, en persvrijheid.
Zuiverheid van denken is dus van belang. Ik heb dat hier nader uitgelegd:
http://boycottholland.wordpress.com/2014/08/12/dutch-parliament-and-pandoras-box
Ik kom vervolgens ook weer op mijn boek "De eenvoudige wiskunde van
Jezus" (EWVJ) (2012):
http://thomascool.eu/Papers/EWVJ/Index.html
EWVJ is een voorstel tot
een multidisciplinair project, met name van de vakken wiskunde, geschiedenis,
maatschappijleer, en filosofie / levensovertuiging / godsdienstleer. Wiskunde
kun je niet alleen op getal en ruimte toepassen maar ook op patronen die zijn te
vinden in het ontstaan van de beschaving en het ontstaan van de
wereldgodsdiensten. Het boek is geschreven om bij te dragen tot een groter
begrip van wat hier allemaal speelt en hoe zaken met elkaar in verband staan.
Wiskunde speelt hierbij een belangrijke rol, want zoals een cirkel een abstract
idee is, dat zich nergens laat aanwijzen en dat alleen in het denken begrepen
kan worden, zo zou je je kunnen voorstellen dat ook godsdienstige begrippen als
God en Ziel zo opgevat kunnen worden. Zoals ingenieurs het abstracte idee van
cirkel gebruiken om praktische constructies tot stand te brengen, bestaat
vooralsnog echter weinig inzicht in de vraag wat je kunt met die abstracties van
bijv. God en Ziel, maar wat niet is kan nog komen, en begrip bevordert
tolerantie.
Het onderwijs heeft kinderen als een "captive audience" van
leeftijd 4 tot 16 / 18. Er zijn allerlei geloven, niet alleen Islam,
Christendom, Jodendom. Door kinderen aan te spreken op de geloofsuitingen die
zij tegenkomen, of juist niet tegenkomen, kunnen zij weerbaarder worden voor
verleidingen die we recentelijk zien, zoals de jihadisten die naar Syrie
vertrekken. Gezien het toenemend geweld aan de grenzen van de EU en de weerslag
binnen de EU laat zich vermoeden dat scholen zich meer bewust worden van hun
belangrijke rol om kinderen die geestelijke weerbaarheid mee te geven.
Mijn suggestie is dat wiskunde daaraan een bijdrage kan leveren, zoals ik in
EWVJ heb beschreven, of zoals ook Ab van der Roest met zijn werkgroep "Wiskunde
en geloof" aan het verkennen zal zijn (
http://www.wiskundeengeloof.nl ). Ikzelf ervaar geen geloof en ben als
persoon atheist, en als wetenschapper agnost omdat de wetenschap over het al dan
niet bestaan van God geen uitspraken kan doen. Als wetenschapper en docent kun
je wel veel aan begrip bijdragen.
(Dit is geen expliciete inzending maar een direct verzoek aan de redactie om zich te blijven herscholen.)
Het voordeel van de recente exercitie is dat je e.e.a. nog eens naleest.
Jullie stellen n.a.v. de positieve reactie door Christiaan Boudri: "door mensen
als dr. Jeroen Spandaw (TU Delft) en Ger Limpens (Cito) zeer kritisch benaderd
en soms zelfs regelrecht afgekraakt".
http://www.wiskundebrief.nl/629.htm#13
Die "kritiek" door Limpens was
toch vooral badinerend taalgebruik. T.a.v. de spellingsfouten had hij gelijk,
daar verbaasde ik me ook over. Het blijkt een kwestie van ouder worden ("senior
moments") waarmee je moet leren omgaan.
Lees het verhaal van Limpens nog
maar eens. Per saldo stelt hij (3e kolom):
"Maar zonder gekheid ... vind
ik dit boek toch zeker de moeite waard."
Je kunt ook zeggen: als hij dat
werkelijk had gevonden, dan had hij niet zo zitten lasteren, omdat hij ook wel
weet dat mensen vooral op die laster letten, zoals jullie blijkbaar ook geneigd
zijn te doen. Maar, het lijkt me dat hij dan maar aan het parlement moet
uitleggen wat hij er werkelijk van vindt.
Hoe dan ook is jullie
samenvatting te gemakkelijk. Het is 3 tegen 1 voor COTP en 2 tegen 0 voor EWS.
Richard Gill vond EWS ook goed, en Limpens zet mijn persoon als een zonderling
weg maar vindt het boek de moeite waard. Dus jullie kunnen niet lezen en niet
tellen, als ik het zo even mag formuleren.
http://thomascool.eu/Papers/Math/2010-12-Euclides-86-3-p130-131-a.jpg
De tweede brief aan CITO staat hier. Wanneer blijkt dat CITO wel degelijk de
uitvoerder van Peil.rekenen is, dan heeft dr. Strijp mij wel degelijk met een
kluitje in het riet gestuurd door me naar de Inspectie door te verwijzen.
http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/2015-10-18-Tweede-brief-aan-CITO.html
"Naast de jaarlijkse eindtoets voor rekenen en taal worden ieder jaar twee
andere leergebieden getoetst. Dat zijn voor het schooljaar 2015/2016 Natuur &
techniek en Kunstzinnige ori[e]ntatie. Het Kohnstamm Instituut, verbonden aan de
Universiteit van Amsterdam, en ITS - verbonden aan Radboud Universiteit - zijn
de partijen die 300 scholen werven om deel te nemen aan de peilingen Natuur &
techniek en Kunstzinnige ori[e]ntatie. Cito is bijna klaar met het ontwikkelen
van de meetinstrumenten voor deze peilingen. De onderzoeksinstituten brengen met
de toets kennis, vaardigheden en houdingen van de leerlingen van groep 8 in
kaart. De scholen krijgen van de partij die het peilingsonderzoek uitvoert de
uitkomsten van hun school teruggekoppeld."
http://www.onderwijsinspectie.nl/nieuws/2015/09/peilingsonderzoeken-in-groep-8-komen-eraan.html
[Geachte redactie,]
Ik heb de teksten naar het Nederlands omgezet, en
wat meer uitgelegd.
Ook het boek "De eenvoudige wiskunde van Jezus"
heeft in 2012 de WiskundE-brief niet gehaald.
Ik voeg het ook weer toe.
(Sat, 08 Dec 2012 11:27:28 +0100)
Er zijn dan vijf boeken. Die vier
boeken uit 2015 komen door een bewerkte heruitgave en door het bundelen en
vertalen van artikelen uit voorgaande jaren.
Met vriendelijke groet,
Thomas Cool / Thomas Colignatus
Econometrist en leraar wiskunde
Scheveningen
Bijlage:
http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/TellenEnRekenenMetTig.png
Auteur: Thomas Colignatus
Uitgeverij: mijnbestseller.nl,
http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/Voorbeeld.html
ISBN
978-946318906-4
Bladzijden: 56
Prijs:€ 10,95
De auteur is als
eerstegraads docent wiskunde niet bevoegd voor het primair onderwijs maar doet
wel de suggestie dat Nederland en masse overgaat op het tellen en rekenen met
tig, zodat kinderen de volle vruchten van het positionele stelsel van getallen
kunnen plukken. Het Algemeen Beschaafd Nederlands blijkt een dialect van
Algemeen Beschaafd Wiskunde. Dit pamflet geeft de systematische uitspraak van
het positioneel stelsel op basis van tig. Dit heeft dezelfde getalswaarde als
tien maar is wel een ander woord. De uitspraak van 19 wordt tig·negen en de
uitspraak van 90 is negen·tig. Bij een systematische uitspraak met tien zou 90
uitgesproken worden als negen·tien, en dat zou verwarrend zijn. Tijdens de
lessen tellen en rekenen wordt elf uitgesproken als tig·een, maar daarbuiten kun
je nog steeds spreken over het nationale elftal of de raad van elf (en wat is
tegenwoordig het verschil).
De PDF staat op de website en op
leermiddelenplein. De doelgroep bestaat vooral uit docenten van het PO, maar
voor docenten uit het VO kan het nuttig zijn na te denken over wat men van het
PO mag verwachten.
[]
http://thomascool.eu/Papers/NiceNumbers/Cover-CWNN.png
Auteur: Thomas
Colignatus
Uitgeverij: mijnbestseller.nl,
http://thomascool.eu/Papers/NiceNumbers/Index.html
ISBN 978-946318970-5
Bladzijden:132
Prijs:€ 14,95
Dit Engelstalige boek stelt dat de
uitspraak van getallen gemeen is - zowel in het Engels als het Nederlands. Je
scrhijft een·vier (14) maar spreekt veer·tien uit. Getal 21 heeft in het
Nederlands ook de andere volgorde, en in het Engels wel weer goed twenty·one.
Maar twenty·one verbergt nog de diepere betekenis die door de wiskunde wordt
gegeven: two·ten·one. In het Nederlands is het voorstel om twee·tig·een te
zeggen. (Gebruik een midden-punt in plaats van een minteken.) Voorgesteld wordt
het primair onderwijs te herstructureren. Met een goed woord: re-engineering.
Breuken kun je afschaffen met macht -1. Omdat kinderen kunnen denken dat je met
-1 iets moet uitrekenen wordt het algebraisch symbool H gebruikt (met later te
ontdekken waarde H = -1). Pierre van Hiele stelde voor vectoren in het
basisonderwijs in te voeren. Dit wordt ondersteund doordat Yvonne Killian heeft
laten zien hoe je op de basisschool de stelling van Pythagoras kunt bewijzen.
De PDF is op de website. De doelgroep bestaat vooral uit docenten van
het PO, maar voor docenten uit het VO kan het nuttig zijn na te denken over wat
men van het PO mag verwachten.
[]
http://thomascool.eu/Papers/Math/EWS-small.jpg
Auteur: Thomas
Colignatus
Uitgeverij: mijnbestseller.nl,
http://thomascool.eu/Papers/Math/Index.html
ISBN ISBN 978-946254045-3
Bladzijden:140
Prijs:€ 14,95
Dit Engelstalige boek is een 2e editie. De
door velen geroemde helderheid van wiskunde blijkt een rommeltje te zijn.
Leerlingen hebben vaak volkomen gelijk wanneer ze iets niet snappen. Wiskundigen
die in het verleden hun notatie verzonnen hebben niet goed getest hoe deze in
het onderwijs uitwerkt. Bijvoorbeeld kan 2 + 1/2 nu geschreven worden als 2½
maar vergelijk dat nu eens met 2V2 (2 wortel 2). Het boek geeft vele
voorbeelden. Het onderwijs in wiskunde is te herstructureren. In het Engels:
re-engineering. Bijzonder is een algebraische aanpak van de
differentiaalrekening. Limieten zijn een belangrijk onderwerp maar blijken niet
essentieel voor afgeleide en integraal op school. Een belangrijke peiler in het
boek is de staathuishoudkunde (political economy) van de bedrijfstak. Ieder land
blijkt gediend met een nationaal instituut voor beheer van het onderwijs in
wiskunde en het wetenschappelijk onderzoek naar dat onderwijs. Dit wordt
aangestuurd door een forum met docenten en ouders, waarin wiskundigen zelf maar
een beperkte rol hebben wegens hun getoond structureel gebrek aan inzicht in het
empirische karakter van onderwijs. In Nederland zou een Simon Stevin Instituut
de Onderwijsinspectie aansturen in plaats van andersom.
De PDF is op de
website. Het boek richt zich op de hele bedrijfskolom van minister tot docenten
tot ouders.
De 1e editie is besproken door Ger Limpens in Euclides
december 2010, 86-3, p130-131: "Maar zonder gekheid ... vind ik dit boek toch
zeker de moeite waard."
http://thomascool.eu/Papers/Math/2010-12-Euclides-86-3-p130-131-a.jpg In een
email van 3 januari 2011 schrijft de redactie aan Colignatus: "ik had kritischer
moeten zijn op het gebruik van dit woord 'zonderling' omdat het een beeld
oproept dat verder niets met de inhoud van je argumenten te maken heeft, dat ben
ik met je eens."
[]
http://thomascool.eu/Papers/FMNAI/FMNAI.jpg
Auteur: Thomas Colignatus
Uitgeverij: mijnbestseller.nl,
http://thomascool.eu/Papers/FMNAI/Index.html
ISBN 978 94 625422-0-4
Bladzijden:151
Prijs:€ 14,95
Dit Engelstalige boek geeft de grondslagen
van wiskunde t.a.v. de onderwerpen: verzamelingen, getallen en oneindigheid.
(Andere boeken van deze auteur geven logica en ruimte.) De auteur ziet
getalbegrip en verzamelingenleer graag opgenomen in het schoolprogramma maar
wenst de ramp van de "New Math" te vermijden (zie wikipedia). Gebruikelijke
besprekingen van verzamelingen leiden al snel tot de stelling over de
machtverzameling en oneindigheid. Voor je het weet komen ook de transfinieten
ter sprake. Deze zijn nodeloos moeilijk voor school maar je wilt leerlingen
mooie inzichten niet onthouden. Wat zou een werkbaar pakket voor school zijn ?
Er worden zes graden van analyseren onderscheiden, met vijf van constructivisme
en het zesde als nonconstructivisme. De getallen 0, 1, 2, 3, ... leidt via
abstractie tot het concept van de oneindige verzameling van alle natuurlijke
getallen, zeg N. Met abstractie zijn ook de re-ele getallen te vinden, zeg R. De
vijfde graad is dan "constructivisme met abstractie". Bij deze graad van
analyseren blijkt er een "bijectie met abstractie" tussen N en R te bestaan,
zodanig dat deze verzamelingen even groot zijn, althans in termen van dit
concept van bijectie. De stelling over de machtverzameling heeft zo dus een
tegenvoorbeeld, of, is gebaseerd op nonconstructivisme dat gezien vanuit de
vijfde graad dubieus is. De bewijzen van Georg Cantor (1845-1918) over de
onaftelbaarheid van R blijken logisch ondeugdelijk. De ZFC-axiomas van Zermelo
en Fraenkel met het keuzeaxioma blijken inconsistent. Wiskundigen kunnen zich
verliezen in abstractie waarin hun intuitie over wat zinvol en bewijsbaar is kan
ontsporen en zij niet meer logisch gaan nadenken. Voor de grondslagen van de
wiskunde is een stevige fundering in de empirische wetenschap wenselijk.
De PDF is op de website maar het is wederom verstandig om vanaf papier te
studeren. Dit boek is voor wie logica, verzamelingenleer en elementaire
getaltheorie opgenomen wil zien in het programma voor VO en eerste jaar HO en
die geen onzin wil verkopen.
[]
http://thomascool.eu/Papers/EWVJ/ewvj-klein.png
Auteur: Thomas
Colignatus
Uitgeverij: mijnbestseller.nl, 2012,
http://thomascool.eu/Papers/EWVJ/Index.html
ISBN: 9789461933775
Bladzijden; 151
Prijs: € 14,95
Dit boek doet een projectvoorstel voor
wiskunde voor klas 5 HAVO of 5-6 VWO in combinatie met geschiedenis,
maatschappijleer en levensbeschouwing. Wiskunde kunnen we toepassen op van
alles, zoals getallen, ruimte, fysica, biologie ... Dit boek past wiskunde toe
op het verhaal van Jezus van Nazaret. Zoals een cirkel in de wiskunde perfect
is, kun je je afvragen hoe het zit t.a.v. begrippen als ziel en zoon van god. De
eenvoudige wiskunde van Jezus betreft het ontstaan van de kalender op grond van
de hemelverschijnselen. Astronomie komt weer terug als onderwerp voor wiskunde.
Astrologie is de wetenschap van het haar nul, met invloed van hemelse sferen op
aardse verschijnselen. Dit is magisch denken, maar wil je weten hoe de
voorouders dachten zul je je er een beetje in moeten verdiepen. De Bijbel blijkt
een astrologisch boek, en kan gezien worden als een nobele poging met de
wetenschap van die tijd. Het wordt moeilijker wiskunde, of zelfs giskunde,
wanneer we willen ontrafelen hoe de Bijbel ontstond en wie Jezus was. Hier is
geen zekerheid maar de logica leidt tot enkele suggesties. Thomas Cool is
econometrist en leraar wiskunde, en schrijft zijn wetenschappelijk werk onder de
naam Colignatus.
Reactie: De redactie heeft alleen "Tellen en rekenen met tig" geplaatst.
2015-11-03
Complimenten: het staat er mooi: Tellen en rekenen met
tig.
Mag ik me deze opmerking veroorloven ?
Wellicht is het een
acceptabele gedachte dat ik gevoelig ben voor taalgebruik.
In de tekst
spreken jullie over "het sluw gekozen woordje "tig"".
Echter, het woord
"sluw" heeft gangbaar een pejoratieve klank.
http://www.mijnwoordenboek.nl/synoniemen/sluw
http://www.vandale.nl/gratis-woordenboek/betekenis/nederlands/sluw
Het blijft me verbazen dat men niet gewoon over mijn werk kan berichten zonder
dat er zoiets pejoratiefs erin sluipt. Alsof je dit niet kunt verzinnen zonder
sluw te zijn. Ik neem aan dat het wel weer zoiets zal zijn als het verlevendigen
van de wiskunde met een frase als "Die Pythagoras echter was een sluwe rakker,
en ...".
Wanneer jullie zo aardig zijn om over de andere boeken te
rapporteren, mag ik dan verzoeken om dit zo neutraal mogelijk te doen ? Zonder
natuurlijk saai te worden. Echt, het kan !
Ik ben niet alleen leraar wiskunde maar ook econometrist. Als leraar wiskunde
zie ik structurele fouten in de stof, welke fouten aanleiding geven tot
zogenaamde "wiskunde". Als econoom constateer ik dat processen van beheer en
besluiten bij overheid en markt niet kloppen. Het parlement maakt met de
Commissie Dijsselbloem een scheiding tussen Wat en Hoe, maar gaat via de
Inspectie toch weer sturen t.a.v. de verantwoordelijkheid van docenten. Tevens
zijn Jan van de Craats en de Stichting Goed Rekenonderwijs door de mand gevallen
als weer een andere secte naast de secte van het Freudenthal Hoofd in de Wolken
Realistische Wiskunde Instituut. Met dat sectegedrag komen we er niet. De enige
nette weg is die van de wetenschap. Wetenschap is wat anders dan wat een
professor wiskunde levert. Er is een parlementair onderzoek nodig om vermolmde
structuren, misgroeide belangen en sectegedrag te doorbreken. Dat adviseerde ik
al in 2008, maar ook Jan van de Craats luisterde niet, meende het als
niet-econoom toch beter te weten, en staat nu wederom parlementsleden voor te
spiegelen alsof hij de deskundige en geen verdwaalde wiskundige is. Problemen
die in het basisonderwijs worden veroorzaakt met 150.000 reken-zwakke
onderwijzers wil de staatssecretaris oplossen via 4.000 docenten in het
middelbaar onderwijs, en Van de Craats helpt het paard achter de wagen te
houden. Hier zijn de relevante links:
De nota over het rekenschandaal en
de in 2014 ontdekte fraude door Freudenthal:
http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/2015-10-14-Rekenen-Fraude-Freudenthal-Parlement.pdf
Aanbiedingsbrief aan het parlement:
http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/2015-10-17-Aan-TK-commissie-OCW.html
Tweede brief aan CITO over het commercieel experiment met kinderen, falende
psychologische toetsdeskundigen en wiskundigen die "wiskunde" leveren:
http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/2015-10-18-Tweede-brief-aan-CITO.html
Thomas Colignatus, econometrist (Groningen 1982) en leraar wiskunde
(Leiden 2008)
Op 29 november 2015 schreef ik dat "Het rekenexperiment op kinderen moet en kan worden beëindigd". De Onderwijsinspectie antwoordt op 18 december 2015: "Het is niet de taak van de inspectie de discussie tussen aanhangers van de diverse rekenmethodieken te beslechten. Dank voor uw interesse. Misschien is er belangstelling voor bij de Nationaal Regieorgaan Onderwijsonderzoek (NRO)." Dit antwoord negeert de vraag. De Onderwijsinspectie sluit de ogen voor de eigen taak.
De vraag gaat over de ethiek dat je geen experiment op kinderen mag doen
zonder rekening te houden met protocollen die daarvoor in het wetenschappelijk
onderzoek zijn ontwikkeld. Bij een experiment met twee methoden moet je dit
stopzetten wanneer duidelijk is welke methode beter is, zodat alle kinderen die
betere methode kunnen krijgen. Me dunkt dat de Onderwijsinspectie deze ethiek
zou behoren te onderschrijven. Wellicht doet men dat ook, maar dat komen we niet
te weten wanneer de vraag verkeerd wordt voorgesteld.
Wat anno 2015-2016
gebeurt is wetenschappelijk en ethisch onverantwoord. De vraag ging niet over
het beslechten van een discussie tussen "aanhangers" van methodieken (de
"realistische" en de "traditionele"). De vraag gaat over het stopzetten van de
wantoestand. Die ideologen zullen daarna heus wel doorgaan met discussiëren.
De bescherming van kinderen t.a.v. wat er nu feitelijk gebeurt ligt bij de
Onderwijsinspectie, niet bij NRO. Doorverwijzen naar NRO is niet aan de orde.
NRO gaat over onderzoek dat in de toekomst zal plaatsvinden. Mijn vraag gaat
over wat er anno 2015-2016 gebeurt, waar de Onderwijsinspectie op toeziet en
waarover men aan het eind van het jaar verslag moet doen. Zal de
Onderwijsinspectie straks rapporteren dat men een onverantwoord experiment op
kinderen toestond zonder nette middelen te gebruiken om dit z.s.m. stop te
zetten ?
Het is bizar dat gedaan wordt alsof het alleen gaat om het
beslechten van een geschil tussen "aanhangers". Het is bizar dat gedaan wordt
alsof kinderen anno 2015-2016 niet bestaan. In ieder geval is het bewust
wegkijken, en daarvoor is de Onderwijsinspectie toch niet bedoeld.
Ik heb
derhalve geen antwoord ontvangen op het punt dat ik aan de orde stelde. Ik heb
de Inspecteur-Generaal Monique Vogelzang teruggeschreven dat ik toch wel
degelijk antwoord verwacht, en dat de Onderwijsinspectie dit jaar nog een
onderscheidende toets ontwikkelt en uitvoert. Ik heb me afgevraagd of eventueel
een aparte petitie nuttig is, maar ik beperk me tot de bestaande petitie: <#
http://www.ipetitions.com/petition/tk-onderzoek-wiskundeonderwijs>. Tevens
adviseer ik collegae deze reken-wantoestand en bewust wegkijken door de
Inspectie in de vakgroep te bespreken en aan het schoolbestuur door te geven,
met de suggestie het in de VO-, MBO- en PO-raden aan de orde te stellen.
Thomas Colignatus
We hebben je in de WiskundE-brief de afgelopen tijd flink wat aandacht gegeven.
Reactie: Het gaat niet om mij. Het gaat om de bijdragen, die iets bijdragen.
Ondertussen heeft dat geleid tot opmerkingen en protesten van een vrij breed publiek. Dat heeft onder andere de maken met je soms nogal scherpe stellingnamen
Reactie: De term "scherpe stellingname" is een lastige. Ik kijk naar het bewijsmateriaal en kom tot verklaringen die dit materiaal dekken. Je kunt uit de stellingname hypothesen afleiden, en kijken naar falsificatie en bevestiging.
waarbij lezers de onderbouwing niet altijd even sterk vinden. En ook krijgen we reacties over de vermeende onnavolgbaarheid van de teksten van eigen hand onder je links.
Reactie: Stuur die reacties van anderen aan me door. Waarom reageren mensen aan redacties wanneer ze bij mij moeten zijn ? Willen ze de redactie onder druk zetten ? Wie zijn dit ?
Het is leuk om de lezer af en toe wat te prikkelen. Jouw bijdragen lenen zich daar uitstekend voor. Maar het moet wel 'af en toe' blijven om als nieuwsbrief een onafhankelijke status te bewaren.
Reactie: Hoezo zouden jullie niet onafhankelijk kunnen zijn, alleen omdat mijn bijdragen van zo'n kwaliteit zijn dat ze als berichten aan de collegae doorgegeven behoren te worden ?
NB. Ik richt me op "sleutel-vraagstukken" die voorgang in het denken belemmeren. Wanneer je A en B jarenlang ziet steggelen zonder dat er voortgang is, heeft het zin om te kijken welk onderscheidend argument een blokkade tegen voortgang opwerpt.
Daarom hebben wij besloten om jouw bijdrage over de onderwijsinspectie niet te plaatsen. Ik vertrouw er op dat je daar begrip voor hebt.
Reactie: Ik begrijp er niets van.
De juiste reactie is: Gunnen jullie de
Onderwijsinspectie de ruimte om een vraag verkeerd voor te stellen, en per saldo
dan niet te antwoorden ?
Nogmaals: Dekker heeft de Onderwijsinspectie
opgedragen jaarlijks te gaan rapporteren, en daartoe ook PPON van CITO
weggehaald.
http://www.vo-raad.nl/themas/overgang-po-vo/peil.onderwijs-van-inspectie-opvolger-van-ppon-peilingen
Maar dan verzaakt de Onderwijsinspectie t.a.v. de cruciale
vraag voor de rekentoets.
Is dit belangrijk of niet ? Ja, ik vind van
wel. Met name ook omdat Van de Craats en het Freudenthal Instituut al 10 jaar
bakkeleien en er niet toe komen om de onderscheidende toets te doen, met ook
falen van CITO en psychometristen zelf:
https://boycottholland.wordpress.com/2015/12/18/algebra-is-a-troubling-word/
Voor de goede orde: jullie vormen natuurlijk de redactie, en ik waardeer de
redactionele inzet.
(Dit is vooralsnog een melding.)
Ik lees in Euclides over het Deltaplan, maar zag er nog niets over in de
wiskundE-brief:
http://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2015-16-4-265.pdf
2016-02-10
Dat is mooi. Hier zijn mijn opmerkingen voor de relevantie voor het onderwijs:
"Het basisprobleem in pedagogie, onderwijs en didactiek van wis- en rekenkunde: het onderscheid tussen de traditionele, "realistische" en (neo-) klassieke benaderingen"
http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/2016-02-10-Basisprobleem-in-pedagogie-onderwijs-en-didactiek-van-wiskunde.pdf
2016: De redactie publiceert wel over het Deltaplan maar niet over mijn kritiek daarop.
De NVvW is een ernstig zieke vereniging, met misrepresentatie,
schelden en laster, censuur en doodzwijgen. Dit is geen mening maar laat zich
empirisch vaststellen. Om dit te herstellen kan een anker gevonden worden in de
integriteit van wetenschap. Een eerder voorgesteld parlementair onderzoek kan
beter een enquete worden, d.w.z. met het onder ede horen van getuigen.
De informatie is algemeen toegankelijk, bijv. via mijn brief aan het
parlement. Op het NVvW Forum is een discussie geopend waar men reacties kan
geven. Leden van NVvW wordt gevraagd om zich beschaafd op te stellen en feiten
te respecteren. Wanneer men iets niet begrijpt is het verstandig om eerst vragen
te stellen. Ga er niet vanuit dat vragen meteen worden beantwoord, zeker niet
door mij, want anderen kunnen dat misschien ook, en ik heb ook andere zaken aan
het hoofd dan wangedrag documenteren. Het is vooral een
bestuursverantwoordelijkheid, en mijn advies blijft een parlementair onderzoek.
Links zijn:
Brief aan de TK cie.OCW.
http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/2016-03-12-Brief-aan-TK-cieOCW-onderwijs-wiskunde-rekenen-rekentoets.pdf
Algemeen bericht.
http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/2016-03-11-NVVW-is-een-ernstig-zieke-vereniging.pdf
https://www.nvvw.nl/vanilla/discussion/451/de-nvvw-is-een-ernstig-zieke-vereniging
NVvW Forum.
http://www.ipetitions.com/petition/tk-onderzoek-wiskundeonderwijs/
Vier
wiskundigen.
http://thomascool.eu/Papers/Math/2016-03-15-Some-experiences-with-HdS-RB-FvdDS-JvdC.html
Thomas Colignatus
Econometrist (Groningen 1982) en leraar wiskunde (Leiden
2008)
Scheveningen
2016-03-20: Meta-opmerking
Ik bedenk nog deze meta-opmerking: Wanneer jullie plaatsen, dan gaarne beide
berichten.
Graag zag ik dat de lezers zien en beseffen dat ik een
inhoudelijke bijdrage nastreef, en alleen protesteer tegen wangedrag wanneer dit
zich voordoet.
Het zou onjuist zijn wanneer men wel de bijdragen ziet,
maar niet het wangedrag. Of dat men het protest tegen wangedrag ziet, maar niet
de bijdragen.
Noch commentaar noch reactie.
Date: Sun, 06 Mar 2016 18:59:50 +0100
To: voorzitter [at] nvvw.nl, secretaris [at] nvvw.nl
From: Thomas Cool / Thomas Colignatus
Subject: Het NVvW-bestuur desinformeert het parlement over het onderwijs in rekenen en de rekentoets
Cc: voorzitter [at] wiskgenoot.nl, secretaris [at] wiskgenoot.nl
Aan het bestuur van de NVVW
cc bestuur KWG in het kader van het PWN
Geachte voorzitter en secretaris,
Uw brief aan het parlement van 15 februari jl. maakt geen melding van mijn bevinding dat er momenteel een onverantwoord experiment op kinderen plaatsvindt t.a.v. het onderwijs in rekenen. Dit is geen ander onderwerp maar staat direct in verband met de overwegingen van het parlement t.a.v. een rekentoets. Ik acht uw brief derhalve onverantwoord, en een desinformeren van het parlement terwijl u beter moet en kunt weten. Ik verwacht van u spoedig correctie.
Mijn tekst hierover staat hier:
http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/2016-03-06-NVVW-bestuur-desinformeert-het-parlement-over-het-rekenen.pdf
Met vriendelijke groet,
Thomas Cool / Thomas Colignatus
Econometrist (Groningen 1982) en leraar wiskunde (Leiden 2008)
Scheveningen
Noch commentaar noch reactie.
Het lijkt me nuttig om u kopie te doen van mijn brief aan NWO / NRO / PROO,
zie onderstaand bericht alsmede de brief in de link.
Pro memorie herinner
ik aan mijn inzendingen t.a.v. traditionele en (neo-) klassieke didactieken,
t.a.v. dat de NVvW een ernstig zieke vereniging is gebleken, en t.a.v. mijn
verschillende boeken welke bij Euclides door censuur zijn getroffen.
(...)
http://thomascool.eu/Papers/Math/2016-04-15-Letter-to-NRO.pdf
(...)
Noch commentaar noch reactie.
Ik heb nu deze brief aan KNAW en CPB:
http://thomascool.eu/Thomas/English/Science/Letters/2016-05-17-Letter-to-KNAW-and-CPB.pdf
Dit was aanleiding om een link hiernaar toe te voegen aan de mogelijke
bijdrage over traditionele, realistische of (neo-) klassieke didactieken.
Bijgaand de zesde versie.
2016-05-26
Er is nog een supplement, in de vorm van deze brieven:
http://thomascool.eu/Thomas/English/Science/Letters/2016-05-25-Letter-to-KNAW-and-CPB-supplement.pdf
http://thomascool.eu/Papers/Math/2016-05-25-Email-exchange-with-Kool-Noteboom-Tijdeman.pdf
Ik vrees dat prof. Tijdeman niet goed leest, dus veel kun je er niet aan
concluderen, maar ikzelf ben ontsteld over dat hij niet goed leest en een
bericht van een econometrist en leraar wiskunde zo opzijschuift, en daarna niet
meer wil corrigeren.
Mijn kritiek op het KNAW 2009 rapport over het
rekenen is inhoudelijk. Als tweede laag constateer ik nu in het vervolg dat de
auteurs niet gekwalificeerd zijn voor onderzoek aan didactiek van wiskunde.
Marjolein Kool heeft een 2e graads bevoegdheid wiskunde maar geen kwalificatie
voor onderzoek aan didactiek van wiskunde. Mutatis mutandis. Dit kijken naar
kwalificatie zou als ad hominem kunnen worden opgevat. Dat is niet mijn
bedoeling. Er is verschil tussen een chirurg en een slager. De situatie is niet
zo dat de chirurg dwaalde en te werk ging als een slager. Zo'n chirurg zou een
dwaling kunnen inzien wanneer hem of haar dat wordt uitgelegd. De situatie is
dat slagers aan de gang gingen en deden alsof zij chirurgen waren. Wellicht had
ik dit aspect beter niet kunnen noemen omdat mensen het ad hominem zouden kunnen
vinden. Maar de kern ligt bij de inhoud, en het blijft relevant om te wijzen op
kwalificatie.
Noch commentaar noch reactie.
Een voorbeeld is de notatie van gemengde breuken zoals twee-en-een-half, met de traditionele notatie van 2½. Klassiek is het beter om 2 + ½ zo te laten staan. De traditionele notatie van 2½ kan als 2 maal ½ gelezen worden, zoals 2x. Standaard betekent "naast elkaar staan" dat je moet vermenigvuldigen, vgl. 2 km. Derhalve is 2½ een uitzondering op de regel, en welbeschouwd dan krom. Je ziet kinderen soms ook spelen met 23 = 2 3 = 6, wanneer ze leren dat naast elkaar schrijven een vermenigvuldiging betekent.
De grote kosten van deze notatie liggen in het aan- en afleren van begrippen en notaties. Wie eerst leert dat 2½ staat voor een optelling, heeft moeite om dat vervolgens te gaan zien als een uitzondering op vermenigvuldiging. De notaties zijn niet verwaarloosbaar, want vormen een extern geheugen voor wat er bedoeld wordt, en zijn het medium voor communicatie.
Niet de werkelijke kosten maar wel een symptoom vormen de fouten die nog op hogere leeftijd gemaakt kunnen worden. Een leerling die met 2½ geen fout maakt kan helaas echter in handschrift per ongeluk ietwat ruimte schrijven, die soms dan weer als spatie wordt gelezen, en dan ontstaat een uitkomst als 2 ½ = 1. Zo'n leerling is niet onmiddellijk een sloddervos of iemand die het niet begrijpt, maar volgt de basisafspraak voor vermenigvuldigen.
Een argument om de vorm 2½ te gebruiken is dat je anders vaker haakjes moet gebruiken, zoals bij (2 + ½)(2 + ½). Het lijkt me echter juist goed om vroeg met haakjes te beginnen.
Pierre van Hiele keek in 1973 naar de mogelijkheid breuken af te schaffen door meteen met machten te werken, waarbij ½ = 2-1. Inderdaad is dit eleganter en geeft beter wiskundig denken. De notatie y / x geeft extra werk zonder inzicht. De copyrights van diens boek Begrip en inzicht zouden door de NVVW moeten worden verworven, en het boek online gezet.
Nieuw uit 2014 is een neoklassieke aanpak door H = -1 te gebruiken, met H uit te spreken als "eta". Bij 2^(-1) kunnen leerlingen denken dat ze nog iets met die -1 moeten uitrekenen. Met gebruik van H verdwijnt dat, en komt de eigenlijke algebra naar voren. De neoklassieke aanpak van breuken is dan xH, uit te spreken als "per x". Wat x^H betekent zie je door de grondregel dat x xH = 1, voor x ongelijk 0.
Leerlingen die rangwoorden (eerste, tweede, derde, vierde, ...) hebben geleerd, moeten deze preciese betekenis ook weer afleren, door deze termen ook op breuken en taartpunten toe te passen (een-eende, half, een-derde, een-vierde, ...). De logica in deze woordkeus is ver te zoeken. Met gebruik van "per" is dit opgelost.
Met dit voorbeeld van breuken zijn definities van (neo-) klassieke didactiek hopelijk duidelijk. Met dit onderscheid in didactieken laat zich ook verduidelijken hoe psychometristen (ook bij CITO) invalide toetsen kunnen ontwerpen. Een som die 2½ gebruikt toetst zogenaamde "wiskunde" maar niet de echte wiskunde van 2 + ½ of 2 + 2H. Het Deltaplan Wiskunde spreekt over opleiding en nascholing van leraren wiskunde maar kent deze verschillende didactieken niet en negeert het verschil tussen "wiskunde" en wiskunde.
Het zal tijd en aandacht kosten om de krommigheden te vervangen door (neo-) klassieke netheid. Maar laat men zich bewust zijn van het probleem en het steeds benoemen. Het is o zo verleidelijk om te denken dat leerlingen die moeite hebben met "wiskunde" zich maar moeten voegen naar de traditie.
Thomas Colignatus
Econometrist (Groningen 1982) en leraar wiskunde (Leiden 2008), Scheveningen
(Met dank aan de redactie van de WiskundE-brief voor kritische opmerkingen)
Bronnen:
Reactie: Dit commentaar van de redactie gold voor versie drie. De redacteur blijkt een paar punten niet te begrijpen, en beschouwt dit als een belemmering tot doorgeven van het bericht. Wat mij betreft had het zo echter best geplaatst kunnen worden. Wie meer wil weten kan immers doorlezen in de referenties. Een redacteur die wil gaan blokkeren is niet ontslagen van de plicht dan ook naar de referenties te kijken.
Traditionele, realistische, of (neo-)klassieke didactiek (tweede versie,
2016-02-19)
De tweestrijd tussen "realistische" en "traditionele"
didactieken heeft veel
aandacht getrokken. Maar er bestaan ook andere
didactieken. Belangrijker zelfs
zijn de (neo-)klassieke didactieken. Gangbare
wiskunde kan krommigheden bevatten
zodat je geen wiskunde maar "wiskunde"
hebt. Wanneer deze krommigheden hersteld
worden, krijg je klassieke
didactiek. Wanneer dit didactisch verder verbeterd
worden krijg je
neoklassieke didactiek.
--------------------------------------------------------------------------------
Ik zie hier het verschil nog niet zo goed tussen traditionele en klassieke
didactieken.
Reactie: Opgelost door de definities die hierboven zijn gebruikt expliciet als definities te presenteren.
--------------------------------------------------------------------------------
Een voorbeeld is de notatie van gemengde breuken zoals twee-en-een-half.
De traditionele notatie van 2½ kan als 2 maal ½ gelezen worden (zoals 2x).
In
handschrift is de spatie variabel, zeker bij leerlingen, en snel ontstaat
een
uitkomst als 2 ½ = 1. Zo'n leerling is niet onmiddellijk een sloddervos
maar
volgt de basisafspraak voor vermenigvuldigen. Klassiek is het beter om
2 + ½
zo te laten staan.
--------------------------------------------------------------------------------
Het probleem is me haarscherp duidelijk. Maar rol van de spatie zie ik niet. 2x
kent toch ook geen spatie? En toch moet je vermenigvuldigen. 2½ zou je
onafhankelijk van de rol van de spatie kunnen lezen als 2 keer een half.
Reactie: Alle wiskundigen hebben geleerd dat je 2½ leest als optelling, en
derhalve als uitzondering op de vermenigvuldiging. Ik ga ervan uit dat de lezer
dit weet. Het kost veel onderwijstijd om dat aan leerlingen te leren. Vervolgens
blijft het een riskante notatie, want wanneer je in handschrift per ongeluk iets
te veel ruimte er tussen schrijft dan kan die ruimte als een serieuze spatie
gelezen worden, met dan die uitkomst 2 ½ = 1. Het is onduidelijk waarom mijn
uitleg onduidelijk is.
Verder kan ik uit mijn eigen docentervaring nog opmerken dat het hier weliswaar
om een inconsistente notatie maar zeker niet om een probleem gaat. Verreweg de
meeste leerlingen ervaren met deze inconsistentie totaal geen problemen. Als zij
problemen hebben op het gebied van de algebra, dan liggen die bijna zonder
uitzondering op volstrekt andere gebieden.
De wiskunde sterft van de
inconsistenties. Deze is volgens mij zo'n beetje de
minst belangrijke.
Reactie: Het is een belangrijke constatering dat de wiskunde sterft van de inconsistenties. Waarom laten wiskundeleraren dat toe ? Mijn voorstel is om wiskunde te gaan geven i.p.v. "wiskunde".
NB. Het is niet "inconsistentie" maar "inconsequentie". Het is een uitzondering, die valt te leren. Maar het is een onlogische uitzondering.
Onderwijsonderzoekers noemen breuken als het struikelblok in het primair onderwijs.
--------------------------------------------------------------------------------
Pierre van Hiele keek in 1973 naar de mogelijkheid breuken af te schaffen
door
meteen met machten te werken, waarbij ½ = 2^(-1). Nieuw uit 2014 is een
neoklassieke
aanpak met de notatie x^H = 1 / x, uit te spreken als "per x",
met H = -1 uit te
spreken als "eta". H staat in relatie tot het imaginaire
getal i. Bij een notatie
als 2^(-1) kunnen leerlingen denken dat ze nog iets
met die -1 moeten uitrekenen.
Met gebruik van H verdwijnt dat, en wordt een
brug naar algebra geslagen.
-------------------------------------------------------------------------------
Ik heb dit een paar keer gelezen. Maar ik snap hier werkelijk helemaal niets
van. De rol van i is me volstrekt duister.
Reactie: Het is mij duister wat er voor jou duister is. Het staat er netjes. Het imaginair getal i is de wortel uit -1. Wanneer H = -1 een halve slag in het rond is, dan is i een kwart slag. Je hebt duidelijk niet naar de referenties gekeken.
--------------------------------------------------------------------------------
Leerlingen die rangwoorden (eerste, tweede, derde, vierde, ...) hebben
geleerd,
moeten deze preciese betekenis ook weer afleren, door deze termen
ook op taartpunten
en breuken toe te passen (een-eende, half, een-derde,
een-vierde, ...). De logica
in deze woordkeus is ver te zoeken. Met gebruik
van "per" is dit opgelost.
--------------------------------------------------------------------------------
Ah! Kinderen verwarren rangtelwoorden met breuken! En daarom moeten ze 'drie
elfde' leren uitspreken als 'drie per elf'. Haarscherp. maar de relatie met de
voorgaande alinea is mij nog steeds duister.
Reactie: De uitspraak van breuken is een nieuw aspect. De relatie met het voorgaande is dat het allemaal neoklassieke didactiek is.
Ook hier kan ik uit mijn
ervaring opmerken dat het hier wellicht om een
inconsistentie maar zeker niet
om een probleem gaat. Het is zelfs de vraag of
er een inconsistentie is. Het
verschil tussen "de derde" en "één derde" blijkt
duidelijk uit het lidwoord.
Reactie: "Hij rangschikte de appels op gewicht en er was maar één derde."
Een veel eenvoudiger oplossing (noem mij een neoklassieke didacticus) lijkt
mij
een maatregel binnen het onderwijs waarbij we die verrekte neiging
onderdrukken
om zelfstandige naamwoorden weg te laten. Als we het nu eens
gewoon gaan hebben
over "een derde DEEL". Of over "de afgeleide FUNCTIE".
Lossen we daar niet op
een veel simpelere manier deze problemen, zo die er
zijn, mee op?
Reactie: Hoe kan ik dit weten ? Ik ontwikkel hypothesen voor nader empirisch onderzoek. Wat je noemt is een aspect dat meegenomen mag of moet worden.
--------------------------------------------------------------------------------
Met dit onderscheid in didactieken laat zich ook verduidelijken hoe
psychometristen (ook bij CITO) invalide toetsen kunnen ontwerpen. Het Deltaplan
Wiskunde spreekt over opleiding en nascholing van leraren wiskunde maar negeert
het verschil tussen wiskunde en "wiskunde".
--------------------------------------------------------------------------------
Die toetsen zijn invalide want ...? Klaarblijkelijk moeten zij in hun toetsen
iets doen en iets nalaten. Wat moeten ze doen? Wat moeten ze nalaten?
Reactie: Dit is een Nieuwsbrief. Ik vat resultaten samen, welke de lezer in de referenties kan nalezen. Je kunt niet verwachten dat een samenvattende zin meteen al je vragen beantwoordt.
Jij
beoogt zo te zien een fundamentele verandering van het wiskunde- en reken-
onderwijs vanaf groep 1 van de basisschool. Er kan zowel op de basisschool als
op de middelbare school veel verbeterd worden, dat weet ik zeker. Maar naar
mijn bescheiden mening pak je met deze bijdrage niet echt de kernproblemen
vast. Op zijn minst vind ik je voorbeelden zwak.
Reactie: Dit bericht doet verslag van het ontwikkelen van een hypothese over verschillen in didactieken, zie de definities, met negatieve getallen en breuken als voorbeelden voor die verschillen. Er wordt nergens betoogd dat dit de grootste problemen in het onderwijs zijn. Zelfs als de voorbeelden zwak zijn, dan kunnen ze nog steeds gelden als adequate voorbeelden ter ondersteuning voor het begrip t.a.v. de verschillende didactieken.
Verder geldt dat je
toetsen pas op een fundamentele verandering kunnen worden
aangepast als die
fundamentele veranderingen zijn geaccepteerd, zijn
doorgevoerd en tot een
zeker niveau zijn doorgestroomd. Ik zie niet in hoe
je een verband kunt
leggen tussen toetsen die zijn gestoeld op didactiek A
en een theoretisch
concept van didactiek B.
Reactie: Het lijkt me zinvol om te streven naar enige overeenstemming over wat zinvol te toetsen hypothesen zijn. Op grond van didactisch inzicht en ervaring kan overbodig werk vermeden worden. Niemand is gehouden om iets fundamenteels te accepteren wanneer het nog in onderzoeksfase is. Pas wanneer de resultaten binnen zijn ontstaat de vraag hoe men daarmee om wil gaan. Dit lijkt me zo vanzelfsprekend dat ik niet begrijp dat je deze opmerking maakt.
--------------------------------------------------------------------------------
Zie verder: "Het basisprobleem in pedagogie, onderwijs en didactiek van wis-
en
rekenkunde:
http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/2016-02-10-Basisprobleem-in-pedagogie-onderwijs-en-didactiek-van-wiskunde.pdf
Thomas Colignatus
Reactie: In antwoord op dit
commentaar heb ik een derde versie ingediend.
Kort daarna nog een toevoeging
met 23 = 2 3 = 6, dus vierde versie.
Na publicatie in de WiskundE-brief over
de didactiek van kwadratische getallen, nog maar een update met verwijzing naar
mijn brief aan VOR en lerarenopleiders - de vijfde versie.
En daarna met de
brief aan KNAW en CPB - de zesde versie.
Helaas is er geen inhoudelijke reactie van de redactie waarom men het bericht niet doorgeeft.
Een hoek is een deel van het platte vlak omsloten door twee halfrechten vanuit een gezamenlijk punt. De hoek kan worden gemeten met het platte vlak zelf als eenheid van meting. We kijken dan ook naar de cirkel met omtrek 1. Daar tellen we het aantal draaien in het rond als fractie van een hele draai in het rond. Noem dit de "draai-cirkel". Een hoek van 25% is een rechte hoek. Ik deed hiervan verslag in de WiskundE-brief 456 van 12 mei 2008.
Nu in 2016 realiseer ik me: er bestaat ook een schijf met oppervlakte 1. Deze schijf meet in feite hetzelfde: ook weer het aantal draaien in het rond. Noem dit de "draai-schijf". Dus zowel omtrek als oppervlakte kunnen worden gebruikt voor meting van het aantal draaien in het rond. De maatstaf van 1 is gelijk, zodat het denken in termen van slagen in het rond ook gelijk blijft.
Leerlingen op de basisschool leren al over hoeken. Bijv. via Tangram ontstaat gevoel voor additiviteit (Tal-team, Meetkunde, 2004). Verrassend genoeg lijkt oppervlakte moeilijker dan lengte. Pierre van Hiele vond dat Jean Piaget hierover spraakverwarring veroorzaakte. Voor de basisschool bestaat er aldus de optie om cirkelsectoren in te kleuren, ook met maat 1. Wanneer in het prille begin al van sectoren gebruik zou worden gemaakt, dan zal de aandacht uiteindelijk toch in stappen naar booglengte moeten verschuiven, eerst naar omtrek 1 en uiteindelijk naar radialen. Die overgangen zouden sneller kunnen wanneer het fundamentele hoekbegrip bij de leerlingen al goed is ontwikkeld. Het denken in termen van 360 graden zou ik afraden. Het is "een weetje" voor je culturele ontwikkeling maar het leidt de aandacht af van 1 en de radialen.
Er zijn ook de formules voor omtrek en oppervlakte. Een cirkel is de verzameling punten op gelijke afstand van een middelpunt. Dit is een omtrek. De oppervlakte van een cirkel is derhalve nul. Een schijf is de verzameling van punten omschreven door een cirkel. Dit is een oppervlakte. Die is proportioneel met het kwadraat van de straal, als π r2. Een cirkel of omtrek van een schijf is proportioneel met de straal, als Θ r, met "archi" = Θ = 2π. Van belang zijn de functies Xur en Yur, met "ur" van "Unit Radius". Voor hoek (draai) α geldt {X, Y} = {Xur[α], Yur[α]} = {Cos[α Θ], Sin[α Θ]}. Het kiezen van aparte symbolen {X, Y} voor de punten op de eenheidscirkel is van belang, want X2 + Y2 = 1.
In de figuur is hoek α ("angle") de boog AB langs de draaicirkel, alsook de sector OCD ("hook") op de draaischijf. Wanneer de sector wordt uitgebreid naar de eenheidscirkel, dan mag dit een Pi-hoek ("Pi-hook") genoemd worden, want zijn waarde is α π.
Ik vermoed dat deze aanpak van het hoekbegrip didactische voordelen heeft. Het lijkt mij althans een kansrijke hypothese. Empirisch onderzoek moet uiteraard tonen wat voor leerlingen het beste werkt.
Er was discussie in NewScientist.nl 14 maart 2016 en Euclides 91-7 (juni) pag 7 over enerzijds π (oppervlakte van de eenheidsschijf) en anderzijds 2 π (omtrek van de eenheidscirkel) als norm. Die discussie daar gaat over wat wiskundig fundamenteler zou zijn, en dat is een wonderlijke discussie. Didactisch geldt dat het nuttig is beide symbolen in Θ = 2 π beschikbaar te hebben, namelijk om naast elkaar te kunnen gebruiken. Het gebruik van τ (tau) raad ik af want het lijkt teveel op het symbool voor de straal r, zeker in het handschrift van leerlingen. Merk ook op dat die wiskundigen langs elkaar heen praten, over ofwel π (oppervlakte) ofwel 2π (omtrek), want wanneer je niet op 1 normeert kom je nooit tot hetzelfde.
Thomas Colignatus
Econometrist (Groningen 1982) en leraar wiskunde (Leiden 2008), Scheveningen
Relevante links:
Pas nu heb ik je
bijdrage wat nauwkeuriger doorgenomen. Niet in de laatste plaats door de hitte
was mijn afgelopen week hectisch. En jouw bijdragen vereisen altijd net even wat
meer concentratie.
Jouw bijdrage hapt
naar mijn mening nog niet lekker genoeg weg. Bovendien is de bijdrage veel te
lang. Ik wil mij er de komende week daarom nog even kritisch over buigen en ik
kom dan met een kortere versie waarvan ik inschat dat die ‘consumeerbaarder’ is
voor onze lezers. Ik begrijp je ‘message’ en zal die uiteraard volledig proberen
te handhaven.
Publicatie in de brief van zondag gaan we niet halen. Maar dat lijkt me geen bezwaar.
Reactie (1): Bijgaand een ingekorte versie [nl. weglaten van de laatste paragraaf over de wonderlijke discussie, inclusief enkele verwijzingen]. Wanneer het even kan dan hoop ik dat plaatsing komende zondag toch nog mogelijk is.
Reactie (2):
Mocht je de ingekorte versie van gisteren
(andermaal bijgesloten, zie eerder toegezonden plaatje) niet willen plaatsen
of daar vandaag niet aan toekomen, dan wil ik het volgende procedurevoorstel
doen.
Wanneer je in de tekst zou willen wijzigen, geef dan aan waar
en waarom.
Ga s.v.p. niet zelf met de tekst aan de gang.
Je
zou kunnen denken dat ik wel goede idee-en heb maar die niet zou kunnen
uitleggen. Dat zou een misverstand zijn. Niet alleen de idee-en maar ook de
uitleg is goed.
Het enige dat gebeurt is dat jij het herformuleert
op een manier waarop jij het zelf toevallig begrijpt wanneer je ermee bezig
gaat. Het betreft een nieuw inzicht, en een lezer moet daarmee aan de slag,
en krijgt al doende eigen nieuwe gedachten. Iemand anders die een nieuw idee
hoort gaat er op een andere manier mee om en herformuleert het op een andere
manier. De manier waarop jij het herfomuleert is niet gegarandeerd
universeel beter en in mijn ervaring vooral eigen aan jou. Het heeft me heel
veel geduld gekost om met die herformuleringen van je om te gaan, en vaak
teksten weer terug te buigen zodat er weer stond wat er moest staan. Het
liefst zou ik dit vermijden. Vandaar bovenstaand procedurevoorstel.
Vanzelfsprekend begrijp ik dat een redactie alleen teksten kan plaatsen
die men zelf kan begrijpen. Dus ik heb alle begrip voor een redactieslag.
Soms is directe tekstwijziging handig en snel. Voor dit soort didactische
inzichten is het tussen jou en mij soms echter een lijdensweg geweest, en
dat kan via bovenstaand voorstel om van de tekst zelf af te blijven hopelijk
beperkt worden.
Vanzelfsprekend heb ik grote waardering voor wat
uiteindelijk tot stand is gebracht, en heb ik bijdragen aan de
WiskundE-brief hier verzameld, het zijn er 15:
http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/Index.html#WiskundE-brief
Vorig jaar stelde ik vast dat dit onderzoek een verkeerde effectmaat gebruikte waardoor conclusies onhoudbaar waren (WiskundE-brief 721, 2015). Helaas waren de auteurs niet bereid op de kritiek in te gaan. Pogingen tot bemiddeling hadden geen effect. Het bestuur van de NVvW reageerde niet en gaf verkeerde informatie aan minister en parlement. Dit voorleggen aan de Commissie Wetenschappelijke Integriteit van Leiden is een zwaktebod maar wel op zijn plaats.
Een veelgebruikte vorm van uitdrukken is dat ik de onderzoekers in staat van beschuldiging zou hebben gesteld. Dat is hier welbeschouwd een onjuiste uitdrukking. De kwestie is alleen voorgelegd. Ik ben wetenschapper en heb mijn onderbouwing gegeven. Men kan beter naar mijn onderbouwing kijken dan naar een toekomstig oordeel van CWI. Het is wetenschappeljk onjuist van de onderzoekers niet op kritiek in te gaan. Ik heb geen hoge dunk van die CWI commissies, zie mijn eerdere bespreking van ALLEA / KNAW / LOWI. Wie voor een hof in staat van beschuldiging wordt gesteld is onschuldig tot het tegendeel is bewezen. Het CWI is geen hof. Zulke commissies keuren het eigen vlees, en er is het risico dat zij de reputatie van hun eigen universiteit willen beschermen.
Mijn verzoek aan lezers is de kwestie niet te beschouwen als slechts iets dat nu aan CWI Leiden voorligt, maar de kwestie ook op te pakken binnen de eigen verantwoordelijkheden, waardoor CWI weer extra informatie over de situatie kan krijgen. Het lijkt me nog steeds het beste dat de KNAW het rapport intrekt als ondeugdelijk, en dat het Freudenthal Instituut als onwetenschappelijk buiten de universiteit wordt geplaatst. Vorig jaar reageerde de Onderwijsinspectie onjuist, door de kwestie te characteriseren als een wetenschappelijk dispuut, en niet te kijken naar de eigen verantwoordelijkheid t.a.v. wat er nu fout gaat in het onderwijs. Het bestuur van de NVvW heeft van mij een rode kaart gekregen.
Thomas Cool / Thomas Colignatus, econometrist (Groningen 1982) en leraar wiskunde (Leiden 2008), Scheveningen
Brief aan CWI Leiden 2016Met de namen Kinderklaas en Narren-Piet is er een neutrale aanduiding gevonden, ook zodanig dat de liedjes gewoon kunnen worden gezongen. Niet-katholieken hoeven zich niet meer te storen aan het "sint", waardoor een religieus probleem uit 1700 is opgelost. Er zijn Kinderklazien en Narren-Pieternel, zodat er een emancipatie-probleem uit 1900 is opgelost. Narren-Piet kan allerlei vrolijke gedaanten aannemen, zodat er een discriminatie-probleem uit 1950 is opgelost. Het is opmerkelijk hoe lang problemen zich kunnen voortslepen voordat de logische oplossing zich aandient.
Andere namen die men tegenkomt zijn Roetpiet, Regenboogpiet, en de Ridders met Zwarte Petten van Wim Daniels. Deze namen verwijzen alle weer naar het uiterlijk, terwijl dat juist het probleem was. Soms wordt zwart weer institutionaliseerd alsof er geen andere kleuren zijn. Voor het kinderfeest gaat het om de rollen die Kinderklaas en Narren-Piet vervullen. Sinds 1992 ben ik geen betere naam tegengekomen dan "Kinderklaas en Narren-Piet".
Het is bijzonder om te zien hoe officiële instanties en hun juristen zichzelf in de knoop leggen en in de voet schieten. Bij Haaglanden sprak men over "(Zwarte) Piet". Bij het College voor de Rechten van de Mens en daarna de Kinderombudsman spreekt men over "de figuur van Zwarte Piet". In deze gevallen probeert men de valkuil van alleen "Zwarte Piet" te vermijden, en kiest een ruimere aanduiding. Echter, de aanduiding verwijst toch naar Zwarte Piet. Hoe kun je iets verwerpen zonder het te noemen ? Het noemen betekent toch ook een erkenning ? En moeten we gaan zingen "die figuur die is een baas" ?
Wiskundedocenten kunnen een bijdrage leveren door erop te wijzen dat een aanduiding als "de figuur van Zwarte Piet" per saldo toch weer naar het uiterlijk verwijst, waardoor het een contraproductieve aanduiding is. Klaarblijkelijk kunnen juristen zo'n steuntje in de rug t.a.v. de logica goed gebruiken. Mijn voorstel is de namen Kinderklaas en Narren-Piet ook als neutrale juridische aanduiding te gebruiken. Bijvoorbeeld kan een rechter heel serieus uitspreken zonder dat de zaal in lachen uitbarst: "Het uitbeelden van Narren-Piet als een Zwarte Piet brengt het risico van discriminatie met zich mee."
Kinderklaas en Narren-Piet stammen m.i. uit neolithische tijden, met Wodan die op zijn paard door de lucht reist, en de zon die door de (vanzelfsprekend zwarte) geesten van de nacht wordt opgegeten, en die met lawaai (op deuren bonzen, vuurwerk) verjaagd moet worden. Bij de kerstening is dit feest gesplitst in zowel kerstmis als kinderklaas. Van oorsprong is er derhalve geen verwijzing naar slavernij, hoewel velen na 1950 dit misverstand hebben aangewakkerd door Narren-Piet een meer Surinaams uiterlijk en tongval te geven. Ook is het gebruik van "Zwarte Piet" op zichzelf niet discriminerend. Echter, het gebruik bevordert het risico daarop. Een risico is heeft een kleine kans maar een serieus te nemen nadelig effect. Met gebruik van correcte namen is het probleem van discriminatie nog niet opgelost, maar wel dat sommigen een kinderfeest daarvoor misbruiken (zowel racisten als pestkoppen als anti-discriminatie activisten).
Thomas Cool / Thomas Colignatus / Acapulco Jones, econometrist (Groningen 1982), leraar wiskunde (Leiden 2008), en science fiction auteur, Scheveningen
Kinderklaas en Narren-Piet (met pdf en liedjes)
Leermiddelenplein (creative commons code)
Kinderombudsman over het risico van pesten en discriminatie
College voor de Rechten van de Mens over "een figuur die iedereen recht doet"
Bij de rondvraag op de NVvW Jaarvergadering op 5 november 2016 zal ik het bestuur vragen waarom men het geen goed idee vindt om een Commissie van Goede Diensten in te stellen om de "wiskundeoorlog" 2004-2016+ te onderzoeken en oplossingen voor te stellen.
Gegeven: Er is sinds ongeveer 2004, al zo'n twaalf jaar, een "wiskundeoorlog" tussen "realistischen" en "traditionelen", waarbij mijn eigen "neoclassieke" onderzoek sinds 2008, alweer acht jaar, wordt vermorzeld met misrepresentatie, schelden en lasteren, negeren of doodzwijgen, censuur, liegen en bedriegen.
Gegeven: De NVvW is mij sinds 2012 een ernstig zieke vereniging gebleken, waarbij ook uw nieuwe bestuur geen bescherming biedt, maar inbreuken en censuur pleegt, zodat ik u afgelopen juni een rode kaart heb moeten geven.
Mogelijke oplossing: De weg naar verbetering lijkt me de instelling van een Commissie van Goede Diensten, samen te stellen uit wetenschappers en leraren van wiskunde-gebruikers-vakken, om het wangedrag te onderzoeken en oplossingen aan te dragen.
Vraag: U wilt dit blijkbaar niet, dus laat ik nu wederom vragen: Vindt u de instelling van zo'n Commissie van Goede Diensten een goed idee, en, zo niet, waarom niet ?
Thomas Colignatus, econometrist (Groningen 1982) en leraar wiskunde (Leiden 2008)
Links
Wanneer je een probleem krijgt voorgelegd dan kun je soms de oplossing meteen zien, zoals bij 1+1, en dan weet je ook wel dat je dit niet meer hoeft te controleren. In andere gevallen moet je even nadenken, en dan is het handig om daarbij ook strategisch te leren denken. George Polya (1945) organiseerde de metacognitie in vier stappen: (1) probleem begrijpen, (2) strategie & plan van aanpak bepalen, (3) uitvoering van het plan, (4) controleren. Was het maar zo eenvoudig. De implementatie van Polya is nog flink ingewikkeld.
Na Polya gaf Benjamin Bloom zijn taxonomie terwijl A.D. de Groot met zijn "empirische cyclus" toonde dat er sowieso zulke systematiek bestaat in (wetenschappelijk) denken. Te hopen valt dat bij dit alles de Van Hiele niveau's van begrip en inzicht niet vergeten worden. Recentelijk zijn bij het eindexamen de "wiskundige denk-activiteiten" (WDA) ingevoerd als aparte categorie, maar in feite moet je op ieder niveau en bij elke opgave een metacognitief bewustzijn ontwikkelen.
Bij de NRO kregen Nijhof, Ernst-Militaru en Ghysels de jury-prijs 2016 voor hun implementatie van Polya. Nijman en Verstraete kregen de publieks-prijs voor hun "Handboek leren leren", met 5 leerprincipes: zelfregulatie, metacognitie, leerstrategieën, leermeesters en een rijke leeromgeving.
Ik woonde de NVvW workshop van Nijhof cs bij. Naast complimenten heb ik ook enkele suggesties tot verbetering. Ik heb daartoe ook gekeken naar wat CueThink doet. (1) Nijhof cs gebruiken naast blokken ook een driehoek-met-sub-driehoeken. Echter, blokken volstaan, en die driehoeksvorm ontbeert eigenlijk logica en ruimte om tekst te plaatsen. (2) Zij presenteren de blokken lineair (zoals ook CueThink doet), maar de cyclus is natuurlijker. (3) Zij kleuren de blokken dicht, waardoor het contrast met tekst problematisch is. Het is voldoende alleen de randen te kleuren. (4) Naast kleuren is het verstandig ook logo's te gebruiken. De keuze van effectieve maar neutrale logo's is niet eenvoudig, zie mijn suggestie. Eventueel kunnen leerlingen hun eigen logo's aanbrengen, als maar de kleuren gehandhaafd blijven t.b.v. de communicatie. (5) Enkele andere punten, zie de bespreking hieronder.
Bij "research & development" zou je een onderscheid kunnen maken tussen "open access"-onderzoek en "copyright"-lesmateriaal. Om verwarring te voorkomen heb ik mijn implementatie van Polya's stappenplan een "creative commons" copyright gegeven zodat iedereen ze (onder die voorwaarden) kan gebruiken. Zie de links naar de (niet geteste) docs en/of pdfs. Voor ieder leerstuk (hoofdstukje, modelsom) zijn dan nog de specifieke onderzoeksvragen te formuleren. Gaan de leerboeken er zo anders uitzien ?
Thomas Colignatus, econometrist (Groningen 1982) en leraar wiskunde (Leiden 2008)
Links
In het eindexamen 2018 VWO B komt de limiet terug. Academisch wordt eerst het limietbegrip en vervolgens daarmee continuiteit gedefinieerd. Didactici Vredenduin (1969), Van der Blij (1970) en Van Dormolen (1970) vonden het voor het VWO verstandiger om uit te gaan van intuitief begrepen continuiteit en daarmee het limietbegrip te definieren. Deze laatste aanpak past bij de algebraische aanpak van de afgeleide, ontwikkeld in 2007.
In de syllabus 2018 VWO B: "De kandidaat kan het asymptotisch gedrag van functies bepalen en dit met limietberekening aantonen." In het examen 2017 wordt slechts verwezen naar kennis van het differentiaalquotient, maar er wordt niet specifiek op het gebruik van de limiet daarin getoetst. Aandacht voor de limiet is derhalve op zijn plaats.
Het toeval wil dat ik juist mijn gedachten over continuiteit heb afgerond. Daarbij kwam ik Wansink (1970) "Didactische Oriëntatie voor Wiskundeleraren" no III tegen, met daarin bijdragen van Fred van der Blij en Joop van Dormolen. Nader zoeken gaf ook Piet Vredenduin (1969) in Euclides 45 no 1. Deze auteurs brachten mij een verrassend inzicht: dat de limiet gedefinieerd kan worden uitgaande van het continuiteitsbegrip. Aangezien de reële getallen dit continuiteitsbegrip vangen, en daar een nette definitie voor bestaat (ruwweg: "oneindig aantal decimalen"), was hiermee een heldere didactiek gevonden. Maar het gaat verder. De aanpak door Vredenduin, Van der Blij en Van Dormolen blijkt ook een ondersteuning voor de algebraische aanpak van de afgeleide, die ik in 2007 ontwikkelde. In het gelinkte memo daarover heb ik de relevante passages van deze auteurs opgenomen zodat men dit gemakkelijk kan nagaan.
Thomas Colignatus, econometrist (Groningen 1982) en leraar wiskunde (Leiden 2008)
PS. Een vraag is welke limiet het eindexamen 2018 gaat toetsen: Cauchy of Weierstrasz, of die aanpak van Vredenduin, Van der Blij en Van Dormolen, of wat anders ? Ik heb daarover geen aanduiding gevonden, ook niet in de Handreiking van cTWO uit 2011. Vanzelfsprekend is Weierstrasz de academische norm, maar voor het onderwijs werd in het recente verleden vaak volstaan met een afgezwakte vorm van Cauchy, ook nog zonder het expliciet construeren van rijtjes: Bijv. voor 1 / x hoeft de leerling slechts te zeggen dat substitutie in x met steeds groter getallen een limiet van 0 oplevert. Echter, Alders 1965 Algebra III (26e druk) heeft een net hoofdstuk "Limieten", begint op pag 14 netjes met rijtjes, en geeft op pag 23 netjes Weierstrasz. Maar het lijkt er niet op dat hij veel op Weierstrasz oefende: de voorbeelden betreffen vooral algebraische vereenvoudigingen. Alvorens CvTE te vragen welke nadere eisen t.a.v. de limiet worden gesteld, lijkt het me nuttig de aandacht te vestigen op mijn memo over continuiteit, en betekenis voor afgeleide en limiet.
Links
De differentialen dy en dx en hun quotient dy / dx vormen in de standaard aanpak zowel wiskundig als didactisch een grote uitdaging. De vondst in 2007 van de algebraische aanpak van de afgeleide leidt nu in 2016 tot de conclusies: (1) dat we beter dy // dx schrijven, en (2) dat Δx en dx beter onafhankelijk kunnen worden gehouden, dus zonder opleggen dat Δx = dx. Daarmee is na zo'n 300 jaar eindelijk een degelijke verklaring gevonden, die zich zowel wiskundig als didactisch inzichtelijk laat uitleggen.
In de syllabus 2018 VWO B p14 staat: "De kandidaat kent notaties voor de afgeleide en de tweede afgeleide van een functie." Dat impliceert ook kennis van de notatie met differentialen dy en dx. In "Getal en ruimte" (2009) wordt dy / dx alleen als een notatie gepresenteerd. De onderliggende theorie der differentialen wordt niet besproken, want blijkbaar ook niet gevraagd, en het wordt denkelijk niet gevraagd omdat de praktijk toont dat het stugge lesstof is. In "Getal en ruimte" (1990) werd veel meer aandacht besteed aan de theorie, met limieten en continuiteit, maar de presentatie daar is ingewikkeld, en als het aantal uren wordt beperkt dan is schrappen daarvan logisch.
In 2007 ontwikkelde ik een algebraische aanpak van de afgeleide. Het blijkt mogelijk om hier een nette plaats te geven aan de differentialen. Deze theorie lijkt voor het huidige programma haalbaar. De beperkende factor blijkt niet het beschikbare aantal lesuren, maar de kwaliteit van de theorie. De standaard theorie is krom en verwarrend, en dan heb je meer tijd nodig. De nieuwe aanpak is inzichtelijk en het lijkt erop dat je er veel tijd mee kunt winnen, ook bij andere hoofdstukken. De differentialen zijn gewone differenties, maar wel met de definitie dy ≡ f '[x] dx. Per implicatie volgt direct dat dy // dx = f '[x] ≡ {Δf // Δx, zet Δx = 0}.
Thomas Colignatus, econometrist (Groningen 1982) en leraar wiskunde (Leiden 2008)
Links
[9 april 2017: Er is een update met twee nieuwe gegevens.]
Het bestuur van de NVvW o.l.v. voorzitter Swier Garst stelt een afspraak met staatssecretaris Sander Dekker te hebben gemaakt op 5 maart 2015, voor een traject waarbij de rekentoets in 4 jaar (aldus 2019) zou kunnen worden afgeschaft. Dekker ontkent zo'n afspraak. Wie heeft gelijk ? We kunnen waarnemen dat de afspraak toendertijd niet aan de leden van de NVvW is medegedeeld, in geen enkele "nieuwsbrief" of speech op de jaarvergaderingen. De conclusie is dat het bestuur op z'n minst een slecht geheugen heeft en dat die "afspraak" een verzinsel is. Echter, door Dekker de Zwarte Piet te geven, kan het bestuur ook verbergen dat het eigen beleid deze jaren onlogisch en niet-waarheidsgetrouw was. Disclaimer: Mij persoonlijk is dit bestuur in 2015-2016 ook onbetrouwbaar gebleken, en ik herken dus een patroon.
In februari 2016 deed het bestuur verslag aan de Tweede Kamer. Dit was een pleidooi. Men stelde niet dat het pleidooi reeds was gewonnen doordat er zo'n afspraak was. Sterker nog, men schreef expliciet: "Dit heeft nog niet geleid tot een omarming van ons voorstel (...)". Als er zo'n afspraak was, wat was dan logischer om er toen naar te verwijzen, cq. er een beroep op doen als de staatssecretaris zich er niet aan hield ?
We zien pas zo'n verwijzing naar zo'n "afspraak" in de NVvW-brief van 12 mei 2016, maar, in geen enkele nieuwsbrief aan de leden zoals op 18 mei of 18 juni is naar deze brief verwezen.
PM. Het NVvW bestuur stelt dat 2 jaren zijn verloren, en bepleit nu dat de afspraak gestand wordt gedaan, wederom met afschaffing in 2019. Maar 2017 + 4 = 2021.
Een mogelijkheid is dat topambtenaar Roel Endert een gespreksnotitie heeft waarin die afspraak staat. Echter, wie wil nog tot 2019 aan die rekentoets trekken wanneer je weet dat die wordt afgeschaft ? Op zijn best zou er dan ook een afspraak tot geheimhouding zijn. Waaraan Dekker zich nog houdt maar het NVvW-bestuur niet meer. Deze mogelijkheid lijkt zeer onwaarschijnlijk. (Maar het blijft nuttig dat hierover opheldering komt.)
Het is natuurlijk mogelijk dat het bestuur gewoon een slecht geheugen heeft, en dat men heilig is gaan geloven in het eigen roze wensdenken. Maar waarom zou je nu specifiek op dit punt een slecht geheugen hebben ? Zaken als rekenonderwijs en rekentoets zijn zware onderwerpen, daar maak je niet zomaar zulke fouten. (2017-01-05 toevoeging: Ook wanneer je denkt een "verstandhouding" te hebben dan nog ga je dat later niet "afspraak" noemen.)
Wanneer het bestuur in de brief van 12 mei 2016 stelt dat er zo'n afspraak zou zijn, dan zou het bestuur (en de beleidsmedewerker) zich ook moeten realiseren dat men de leden daarover in 2015-2016 nog niet heeft ingelicht. Dus hier heeft het bestuur een "reality check", om voor zichzelf na te gaan: Wat was het nou, hadden we dit met Dekker afgesproken of niet ? We hebben de leden toch geen informatie onthouden ? Wie geen gebruik maakt van zulke mogelijkheden om na te gaan hoe zaken zijn verlopen en hoe misverstanden kunnen ontstaan, is bezig op het pad van het onbeschaamd keihard liegen.
Ook in zijn speech op de NVvW jaarvergadering 7 november 2015 maakte voorzitter Swier Garst geen melding van de "afspraak". Wel meldde hij dat de NVvW een draai maakte: het gesprek zou niet meer gaan over de rekentoets, maar over het rekenonderwijs. Trots vertelde hij de zaal dat de staatssecretaris opgelucht adem haalde. De NVvW had succes geboekt, en er werd naar de vereniging geluisterd ! Vervolgens deelde hij Dekker mede dat het standpunt van de NVvW was dat de toets beter aan het einde van de onderbouw plaats kon vinden, zodat die voor de bovenbouw kon worden afgeschaft. Dus de NVvW ging toch weer de discussie over de rekentoets aan. Mij dunkt dat Dekker alle reden heeft om zich zo door voorzitter Garst belazerd te weten. Vervolgens desinformeert het NVvW-bestuur het parlement t.a.v. wetenschappelijke bevindingen t.a.v. het rekenen. Over de jaren bezien is het bestuursbeleid een groot falen. Staatssecretaris Dekker constateert ook terecht dat de NVvW inconsistent is: vroeger claimde men dat wiskundeleraren in het voortgezet onderwijs niet opgeleid zijn tot rekenonderwijs, terwijl dit NVvW-bestuur nu zomaar zonder bewijs stelt dat ze heus wel zulk onderwijs in de onderbouw kunnen verzorgen. Het bestuur heeft er aldus alle belang bij om zichzelf vrij te pleiten en de schuld bij anderen te leggen. Dit lijkt mij de meest logische verklaring.
Zulk onbeschaamd keihard liegen en manipulatie met informatie lijkt hoogst onwaarschijnlijk voor een bestuur met een goede staat van dienst, met tenslotte ook wiskundeleraren voor wie de (wiskundige) waarheid geldt. Echter, die staat van dienst is helemaal niet zo goed. De ervaring leert dat wiskundigen vooral opgeleid worden voor traditie in formules, en dat wetenschap, waarneming, respect voor feiten, inzicht, taal en omgangsvormen toch wat anders zijn. De NVvW is mij in 2007-2016 een ernstig zieke vereniging gebleken. Zulk onbeschaamd keihard liegen om het eigen straatje schoon te vegen, alsmede het misbruik dat men hierbij maakt van organen als Volkskrant en WiskundE-brief, verbaast mij niets.
Disclaimer: Mij persoonlijk is dit bestuur in 2015-2016 ook onbetrouwbaar gebleken, en ik herken dus een patroon. Met name het wangedrag rondom de jaarvergadering 2016 is opmerkelijk. Mogelijkerwijs is mijn objectiviteit t.a.v. het bovenstaande aangetast, maar ik denk het niet, zie de argumentatie (anders zou ik zwijgen).
NB. Ik heb deze analyse voorafgaand aan publicatie voorgelegd aan het NVvW bestuur, en geen correctie ontvangen.
Thomas Colignatus, econometrist (Groningen 1982) en leraar wiskunde (Leiden 2008)
Links
Optellen van verhoudingsgetallen (de vorm "teller per noemer") geeft a / b + c / d = (a d + c b) / (b d). Leraren tikken hun leerlingen op de vingers wanneer ze (a + c) / (b + d) gebruiken. Veronderstel dat 6 van 7 poezen binnenshuis zitten, alsook 2 van 10 katers, dus in totaal zijn er (6 + 2) / (7 + 10) = 8 / 17 katten binnenshuis. Ahum. Dit is toch wel degelijk de formule (a + c) / (b + d). Hoe zit het nu met het optellen van breuken of verhoudingen ?
Laten we hondenliefhebbers ook terwille zijn. Veronderstel dat 8 van 10 teven en 1 van 6 reuen binnenshuis zitten. Wederom vinden we dat (8 + 1) / (10 + 6) = 9 / 16 honden binnenshuis zitten. De formule (a + c) / (b + d) lijkt toch echt goed.
Met de formule zien we ook dat de vrouwtjes-huisdieren relatief vaker binnenshuis zitten, want 6 / 7 > 1 / 7 voor katten en 8 / 10 > 2 / 10 voor honden, en dan ook (6 + 8) / (7 + 10) = 14 / 17 > (1 + 2 ) / (7 + 10) = 3 / 17.
Met de formule zien we ook dat katten vaker in huis zitten dan honden. Voor de vrouwtjesdieren is het aandeel katten in huis met 6 / 7 groter dan het aandeel honden in huis met 8 / 10. Voor de mannetjesdieren is het aandeel katten in huis met 2 / 10 groter dan het aandeel honden in huis met 1 / 6. En samengenomen is het aandeel katten in huis met (6 + 2) / (7 + 10) = 8 / 17 groter dan het aandeel honden in huis met (8 + 1) / (10 + 6) = 9 / 16 ? Ahum. Hebben we nu wiskundig getoond dat 8 / 17 > 9 / 16 ?
Wat is dat nou weer ? Voor vrouwtjes apart en mannetjes apart zitten katten vaker in huis dan honden, maar negeren we de kunne dan zitten katten juist relatief minder in huis dan honden.
Of, mankeert er misschien toch iets aan die formule (a + c) / (b + d) ? Zijn al die vingertikken terecht ?
Het lijkt me het meest didactisch om de lezer hierop te laten puzzelen. Het antwoord staat uitgewerkt in de bronnen hieronder. Het gebruik van algebra is toegestaan. Zoals Liesbeth van der Plas opmerkt: "Je kunt immers niet uitleggen hoe je 1/a + 1/b uitrekent als de leerling nog moeite heeft met 1/3 + 1/5." (WiskundE-brief 720).
Leerlingen ook in het basisonderwijs hebben in het feitelijk leven ("authentieke context") direct te maken met statistiek. Geef dit gepaste aandacht. Het dogma van de breukoptelling kan onnodig veel inzicht beschadigen. Laat leerlingen zien wanneer de ene en wanneer de andere formule van toepassing is. Wanneer het basisonderwijs ook statistiek en Simpson's paradox behandelt, kan het voortgezet onderwijs eerder aan algebra beginnen.
Thomas Colignatus, econometrist (Groningen 1982) en leraar wiskunde (Leiden 2008)
Links
In de Kamerbrief 2017-02-24 over het "alternatief voor de rekentoets", waartoe Sander Dekker de opdracht kreeg via de motie door Jasper van Dijk, staat de opmerkelijke afspraak van Dekker met het bestuur van de NVvW (of zie ook de korte weergave in de WiskundE-brief 767#5):
"Deze referentieniveaus gelden voor alle leerlingen in het voortgezet onderwijs en moeten aan het eind van het curriculum op een zodanige manier getoetst worden dat zichtbaar is voor het vervolgonderwijs dat een leerling het referentieniveau beheerst."
Deze afspraak voegt een specifieke eis aan het eindexamen toe. Ik zou niet weten hoe je rekenen specifiek kunt toetsen anders dan via een toets die daarop is toegesneden. De conclusie is dat het NVvW-bestuur een rekentoets bij het eindexamen accepteert.
Vervolgens moet de kandidaat voor deze specifieke toets slagen want anders kan het vervolgonderwijs niet zien dat hij of zij het rekenen beheerst.
Het NVvW-bestuur was blijkbaar zo blij met de motie van Jasper van Dijk en de mogelijkheid om nu tot echte afspraken te komen (de vermeende vorige "afspraak" had men geheel verzonnen), dat men ofwel vergat goed naar de tekst te kijken, ofwel het als irrelevant beschouwt, omdat men later toch gaat zorgen dat dit onderdeel genegeerd kan worden.
Journalist Arianne Mantel bij de Telegraaf 2017-02-27 rapporteert: "De rekentoets op de middelbare scholen gaat van tafel. In plaats daarvan wordt rekenen geïntegreerd bij alle vakken, behalve de talen." Dat valt te bezien, want de Kamerbrief legt condities op die niet per se vervuld zullen worden. Wel voedt de NVvW-voorzitter de gedachte dat de toets gaat verdwijnen, let immers op het woordje "ook", en daarmee krijgen journalist en lezers misleidende informatie:
"Garst: ,,Voorbereiding en invoering ervan zal vermoed ik zo’n vier jaar duren.” Tot die tijd moeten de leerlingen op vmbo, havo en vwo wel allemaal de huidige rekentoets nog maken. ,,Of deze dan ook blijft meetellen voor het behalen van het vwo-diploma hangt volgens mij af van de nieuwe staatssecretaris na de verkiezingen. Als die uit de huidige oppositie komt, acht ik het zeer waarschijnlijk dat deze ook verdwijnt bij het vwo.” " (mijn benadrukking)
Voor het VMBO is geconstateerd dat de rekentoets eigenlijk het wiskunde-programma van het VMBO dekt. Het NVvW-bestuur heeft eerder al voorgesteld dat alle leerlingen deze "wiskunde" gaan krijgen. Ik acht dit een ernstige dwaling. Ten eerste ligt het eigenlijke probleem bij het basisonderwijs. Het is bizar dat het probleem daar niet wordt aangepakt, zie WiskundE-brief 721#5. Ten tweede zou je het wiskundeprogramma op het VMBO ambitieuzer willen maken, gezien eisen voor MBO en HBO. Dat zou voortaan moeilijker worden omdat alles dan vastgelegd is op rekenen voor iedereen. Een ezel achter de wagen stoot zich niet tweemaal aan dezelfde steen maar het NVvW-bestuur zet er een paard neer.
In de Kamerbrief stelt Dekker: "Bij elke groep zitten experts (wiskundeleraren en wetenschappers) die zijn aangedragen door de NVvW en leerplankundige experts van het nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling (SLO)." Wie oh wie zijn deze "experts" ? Vroeger werd ook over "experts" gesproken, die dan bijdroegen aan het ontsporen van het rekenonderwijs, en die niet in staat bleken om de fouten bij het KNAW-rapport uit 2009 over het rekenonderwijs door te prikken, zoals ook de ideologen het Freudenthal Hoofd in de Wolken Realistische Wiskunde Instituut of de ideologen van Stichting Goed Rekenonderwijs, zie andermaal WiskundE-brief 721#5/
Ik herhaal derhalve mijn advies tot een parlementair onderzoek naar het onderwijs in wiskunde.
Thomas Colignatus, econometrist (Groningen 1982) en leraar wiskunde (Leiden 2008)